B рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AC на сто­ро­не BC от­ме­че­на точка K так, что KC  =  3. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 14, а длина сто­ро­ны AB равна 7. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK.

В ци­лин­дри­че­ской банке на­хо­дит­ся сок. Этот сок по­ров­ну раз­ли­ва­ют в 40 оди­на­ко­вых ци­лин­дри­че­ских ста­ка­нов, диа­метр ос­но­ва­ния каж­до­го из ко­то­рых в 4 раза мень­ше диа­мет­ра ос­но­ва­ния банки. В ре­зуль­та­те уро­вень сока в каж­дом из ста­ка­нов до­сти­га­ет 8 см. На какой вы­со­те на­хо­дил­ся уро­вень сока в банке? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по фи­зи­ке име­ет­ся не­ко­то­рое ко­ли­че­ство эк­за­ме­на­ци­он­ных би­ле­тов. В трёх из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Ме­ха­ни­че­ские ко­ле­ба­ния». Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,95 в слу­чай­но вы­бран­ном би­ле­те не ока­жет­ся во­про­са по теме «Ме­ха­ни­че­ские ко­ле­ба­ния». Сколь­ко всего би­ле­тов в сбор­ни­ке?

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу по каж­дой из пяти оди­на­ко­вых ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­ра­зить ми­шень каж­дым от­дель­ным вы­стре­лом равна 0,8. Во сколь­ко раз ве­ро­ят­ность со­бы­тия «стре­лок по­ра­зит ровно че­ты­ре ми­ше­ни» боль­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «стре­лок по­ра­зит ровно три ми­ше­ни»?

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции На оси абс­цисcе от­ме­че­но во­семь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈.

Най­ди­те ко­ли­че­ство от­ме­чен­ных точек, для ко­то­рых верно не­ра­вен­ство

Тело мас­сой 3 кг до­стиг­ло вы­со­ты 1,5 м. Пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия тела (в Дж) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где g  =  9,8 м/с²  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния, m  — масса тела (в кг), υ   — ско­рость тела (в м/с), h  — вы­со­та (в м). Най­ди­те ско­рость тела (в м/с), если пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия тела равна 68,1 Дж.

Из двух го­ро­дов, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 720 км, по па­рал­лель­ным путям от­прав­ля­ют­ся нав­стре­чу друг другу два по­ез­да и встре­ча­ют­ся на се­ре­ди­не пути. Вто­рой поезд вышел на 1 ч позже пер­во­го со ско­ро­стью, на 4 км/⁠ч боль­шей, чем ско­рость пер­во­го по­ез­да. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го по­ез­да. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик фуıкции вида где a, b и c  — целые числа. Най­ди­те зна­че­ние f(4).

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­на точка E так, что точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Длины рёбер AD и A A₁ равны 6 и 10 со­от­вет­ствен­но.

a) До­ка­жи­те, что се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью ETD₁ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью ETD₁, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

По вкла­ду «А» банк в те­че­ние трёх лет в конце каж­до­го года уве­ли­чи­ва­ет на 20% сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду  «Б» уве­ли­чи­ва­ет на 22% в конце каж­до­го года из пер­вых двух лет. Най­ди­те наи­мень­шее целое число про­цен­тов за тре­тий год по вкла­ду «Б», при ко­то­ром за все три года этот вклад всё ещё оста­нет­ся вы­год­нее вкла­да «А».

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­сан квад­рат KCMN так, что вер­ши­ны K и M рас­по­ло­же­ны на ка­те­тах AC и BC со­от­вет­ствен­но, a на ги­по­те­ну­зе AB  — вер­ши­на N. Вер­ши­ны квад­ра­та TPQR рас­по­ло­же­ны на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка ABC, причём вер­ши­ны P и Q на­хо­дят­ся на ка­те­тах AC и BC со­от­вет­ствен­но, а вер­ши­ны R и T  — на ги­по­те­ну­зе AB.

а)  До­ка­жи­те, что точка C и цен­тры квад­ра­тов KCMN и TPQR лежат на одной пря­мой.

6)  Най­ди­те длину сто­ро­ны квад­ра­та TPQR, если AC  =  5 и BC  =  12.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на про­ме­жут­ке [−1; 0).

Пусть {a_n}  — по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел. Обо­зна­чим сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}, ко­то­рые мень­ше не­ко­то­ро­го числа C, ко­то­рое боль­ше наи­мень­ше­го, но не боль­ше наи­боль­ше­го члена этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Обо­зна­чим   — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}, ко­то­рые не мень­ше числа C. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское од­но­го числа равно са­мо­му числу. К каж­до­му члену по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n} при­ба­ви­ли 4. По­лу­чи­лась новая по­сле­до­ва­тель­ность, ко­то­рую обо­зна­чим

а)  Су­ще­ству­ет ли по­сле­до­ва­тель­ность {a_n}, со­сто­я­щая из трёх чле­нов, для ко­то­рой

б)  Су­ще­ству­ет ли по­сле­до­ва­тель­ность {a_n}, со­сто­я­щая из трёх чле­нов, для ко­то­рой и

в)  Из­вест­но, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}, рав­ня­ет­ся 84, и Какое на­и­ме­ны­шее число чле­нов может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}?