Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 5 ко­си­нус 2 x минус 3 ко­си­нус x плюс 1, зна­ме­на­тель: 25 синус в квад­ра­те x минус 9 конец дроби =0.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 5 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но при синус x \not=\pm дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . При таких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной чис­ли­тель дол­жен быть рав­ным нулю. Ис­поль­зуя фор­му­лу ко­си­нус 2x = 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1, по­лу­ча­ем:

5 ко­си­нус 2 x минус 3 ко­си­нус x плюс 1=0 рав­но­силь­но 10 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 ко­си­нус x минус 4=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти

Если ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , то в силу ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства синус x =\pm дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , по­это­му со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния пе­ре­мен­ной яв­ля­ют­ся по­сто­рон­ни­ми кор­ня­ми. Урав­не­ние ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дает ре­ше­ния x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

б)  Чтобы отобрать корни, рас­смот­рим каж­дую из серий от­дель­но. Имеем:

дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно 5 Пи рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 мень­ше или равно k мень­ше или равно целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 .

По­лу­чен­ное двой­ное не­ра­вен­ство не имеет целых ре­ше­ний. Рас­смот­рим вто­рую серию:

дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно 5 Пи рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 мень­ше или равно k мень­ше или равно целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но k=2.

Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ре­ше­ние дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи = дробь: чис­ли­тель: 14 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 14 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 635141: 654843 654932 Все

Источник: Проб­ный ва­ри­ант ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.12.22 Москва
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025