Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 668796
i

В пи­ра­ми­де SABC ребра SA, SB и SC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AB = BC = AC = 4 ко­рень из 2 .

а)  До­ка­жи­те, что SB  =  SC.

б)  На реб­рах SA и SC взяты точки K и L со­от­вет­ствен­но, при­чем SK : KA  =  SL : LC  =  3 : 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния BKL.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из усло­вия по­лу­ча­ем, что

AB в квад­ра­те = SB в квад­ра­те плюс SA в квад­ра­те = SA в квад­ра­те плюс SC в квад­ра­те = AC в квад­ра­те ,

от­ку­да сле­ду­ет, что SB  =  SC.

б)  Пусть H  — се­ре­ди­на KL. Из усло­вия SK = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби SA, SL = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби SC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SBC: SB в квад­ра­те плюс SC в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . По­сколь­ку SB = SC, по­лу­ча­ем, что 2 SB в квад­ра­те = 32, по­то­му SB = SC = 4.

Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке ASB: AS в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те = 32 и AS = 4. Тогда SK = SL = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на 4. Из пря­мо­уголь­ных BKS, SKL и BHK по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

BK в квад­ра­те = SK в квад­ра­те плюс SB в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби умно­жить на 16 плюс 16 = дробь: чис­ли­тель: 16 умно­жить на 58, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби ;

KL в квад­ра­те = SK в квад­ра­те плюс SL в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ;

BH в квад­ра­те = BK в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: KL, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 16 умно­жить на 58, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 умно­жить на 107, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Итак, пло­щадь се­че­ния равна

S_BKL = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BH умно­жить на KL = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 107 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 107 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Ответ: б)   дробь: чис­ли­тель: 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 107 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 473
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026