В прямоугольном треугольнике MNK точки P и T — середины гипотенузы NK и катета MK соответственно. Биссектриса угла MNK пересекает прямую PT в точке Q.
а) Докажите, что треугольники KQM и NPQ подобны.
б) Найдите косинус угла KNM, если отношение площадей треугольников KQM и NPQ равно 0,8.
а) Прямые MN и PQ параллельны, значит, углы MNQ и PQN равны. Следовательно, углы PNQ и PQN равны, тогда PQ = PN = PK = PM. Значит, P — центр окружности, описанной около четырехугольника NKQM. Тогда углы QMK и QNK равны как вписанные, аналогично равны углы QKM и QNM. Тем самым треугольники KQM и NPQ подобны по двум углам.
б) Отношение площадей треугольников KQM и NPQ равно 0,8, следовательно,
Пусть MQ = QK = 2x, тогда
По теореме косинусов для треугольника QPK получаем:
Заметим, что угол KNM равен углу QPK.
Ответ: б) 