Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 671689
i

Тре­уголь­ник АВС впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке О. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти в точке С пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су угла АВС в точке K, при­чем \angle BKC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3\angle BAC минус \angle ACB пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Из­вест­но, что AC плюс AB = 4, а сумма рас­сто­я­ний от цен­тра окруж­но­сти O до сто­рон AC и BC равна дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть \angle BAC = 2 альфа , \angle ACB = 2 бета , тогда \angle ABC = 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус альфа минус бета пра­вая круг­лая скоб­ка = \angle KCA по свой­ству угла между ка­са­тель­ной и се­ку­щей. В тре­уголь­ни­ке BCK по тео­ре­ме о сумме углов по­лу­ча­ем:

\angle KBC плюс \angle KCB плюс \angle BKC = 180 гра­ду­сов рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle ABC плюс левая круг­лая скоб­ка \angle BCA плюс \angle KCA пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \angle BKC = 180 гра­ду­сов рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 90 гра­ду­сов минус альфа минус бета плюс 2 альфа плюс 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус альфа минус бета пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \angle BKC = 180 гра­ду­сов рав­но­силь­но
рав­но­силь­но \angle BKC = 180 гра­ду­сов минус 90 гра­ду­сов минус 180 гра­ду­сов плюс альфа минус 2 альфа плюс 2 альфа плюс бета плюс 2 бета рав­но­силь­но \angle BKC = 3 бета плюс альфа минус 90 гра­ду­сов.

С дру­гой сто­ро­ны,

\angle BKC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 2 альфа минус 2 бета пра­вая круг­лая скоб­ка = 3 альфа минус бета ,

от­ку­да по­лу­ча­ем 3 альфа плюс бета минус 90 гра­ду­сов = 3 альфа минус бета и 2 бета = 90 гра­ду­сов. Зна­чит, \angle ACB пря­мой.

б)  Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный и впи­сан­ный, по­это­му центр окруж­но­сти O лежит на ги­по­те­ну­зе и делит ее по­по­лам. По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка рас­сто­я­ние от точки O до ка­те­та AC равно дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ана­ло­гич­но рас­сто­я­ние от точки O до ка­те­та BC равно дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ис­поль­зу­ем тео­ре­му Пи­фа­го­ра и име­ю­щи­е­ся дан­ные:

AC плюс AB = 4 рав­но­силь­но AB = 4 минус AC,

дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но BC = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус AC,

левая круг­лая скоб­ка 4 минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = AC в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но AC в квад­ра­те плюс AC минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2AC плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2AC минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 \underset AC боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но AC = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Из по­лу­чен­но­го за­клю­ча­ем: BC = 2, AB = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда R = OA = OB = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 480
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026