Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 672509
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 синус в квад­ра­те 5x минус тан­генс в квад­ра­те 5x = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

2 синус в квад­ра­те 5x минус тан­генс в квад­ра­те 5x = 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус 5x\not=0, синус в квад­ра­те 5x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те 5x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус в квад­ра­те 5x=0, ко­си­нус в квад­ра­те 5x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 5x=0, ко­си­нус в квад­ра­те 5x =\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 5x= Пи k, 5x =\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи m, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти .k, n, m при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии по­лу­ча­ем:

0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да k  =  0, k  =  1, k  =  2. Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни 0, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Рас­смот­рим вто­рую серию:

0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

от­ку­да n  =  0, n  =  1, n  =  2. Най­ден­ным зна­че­ни­ям n со­от­вет­ству­ют корни дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби . Для тре­тьей серии на­хо­дим:

0 мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи m, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно m мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

от­ку­да m  =  1, m  =  2. Най­ден­ным зна­че­ни­ям m со­от­вет­ству­ют корни дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

 

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  0, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 483
Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025