Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 674832
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний y минус 1 = ax в квад­ра­те , x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48 минус y в квад­ра­те минус 8y конец ар­гу­мен­та = 2 конец си­сте­мы .

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу гра­фо­ана­ли­ти­че­ским ме­то­дом. По­стро­им гра­фи­ки урав­не­ний си­сте­мы в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy. Гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла y=ax в квад­ра­те плюс 1, при a=0 вы­рож­да­ю­ща­я­ся в пря­мую y=1 (вы­де­ле­но крас­ным). Вер­ши­на па­ра­бо­лы рас­по­ло­же­на в точке левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , при a боль­ше 0 ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, при a мень­ше 0  — вниз.

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние:

x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48 минус y в квад­ра­те минус 8y конец ар­гу­мен­та = 2 рав­но­силь­но x минус 2= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 минус y в квад­ра­те минус 8y минус 16 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =64 минус левая круг­лая скоб­ка y плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , x минус 2 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =8 в квад­ра­те , x боль­ше или равно 2 конец си­сте­мы .

Гра­фи­ком этого урав­не­ния яв­ля­ет­ся пра­вая по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке C левая круг­лая скоб­ка 2; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ра­ди­у­сом 8 (вы­де­ле­на оран­же­вым).

Па­ра­бо­ла y=ax в квад­ра­те плюс 1 про­хо­дит через точку A левая круг­лая скоб­ка 2; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка (вы­де­ле­но зелёным) при

4=a умно­жить на 2 в квад­ра­те плюс 1 рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

a через точку B левая круг­лая скоб­ка 2; минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка (вы­де­ле­но синим)  — при минус 12=a умно­жить на 2 в квад­ра­те плюс 1, то есть при a= минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

При a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби па­ра­бо­ла и по­лу­окруж­ность не имеют общих точек, зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, а при минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби си­сте­ма имеет ре­ше­ния.

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 491
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025