Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 688877
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  тан­генс левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус x минус ко­си­нус x.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что урав­не­ние опре­де­ле­но при  x не равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,  n при­над­ле­жит Z . Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этом огра­ни­че­нии:

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус x минус ко­си­нус x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка x минус \dfrac Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус \dfrac Пи 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = синус x минус ко­си­нус x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: синус x минус ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус \dfrac Пи 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус \dfrac Пи 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x = ко­си­нус x, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус \dfrac Пи 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний тан­генс x = 1, ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус \dfrac Пи 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x = 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Най­ден­ные ре­ше­ния удо­вле­тво­ря­ют усло­вию  x не равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n.

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят:  минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус 2 Пи ,  минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус 2 Пи ,  минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 511