а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На бо­ко­вом ребре FD пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды FABCD от­ме­че­на точка M так, что FM : FD  =  1 : 3. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер AD и BC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MPQ есть рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MPQ раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Вклад пла­ни­ру­ет­ся по­ло­жить на пять лет, он со­став­ля­ет целое число сотен тысяч руб­лей. В конце каж­до­го года вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года. Кроме этого, в на­ча­ле чет­вер­то­го и пя­то­го годов вклад еже­год­но по­пол­ня­ет­ся на 100 тысяч руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да (в руб­лях), при ко­то­ром через 5 лет он будет мень­ше 800 тысяч руб­лей.

Точка О  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС, а ВН  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла В яв­ля­ет­ся также бис­сек­три­сой угла ОВН.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если вы­со­та и бис­сек­три­са

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На­ту­раль­ное число, пред­ста­ви­мое в виде где на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ным. Рас­смот­рим тре­уголь­ные числа, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых нет цифры 9, таких, что если каж­дую цифру числа уве­ли­чить на 1, то по­лу­чен­ное число также яв­ля­ет­ся тре­уголь­ным.

а)  Можно ли ука­зать такое дву­знач­ное число?

б)  Су­ще­ству­ют ли такие трех­знач­ные числа?

в)  Най­ди­те все такие че­ты­рех­знач­ные числа.