Натуральное число, представимое в виде 
где 
называется треугольным. Рассмотрим треугольные числа, в десятичной записи которых нет цифры 9, таких, что если каждую цифру числа увеличить на 1, то полученное число также является треугольным.
а) Можно ли указать такое двузначное число?
б) Существуют ли такие трехзначные числа?
в) Найдите все такие четырехзначные числа.
Пусть число состоит из k цифр, тогда увеличение каждой его цифры на 1 эквивалентно прибавлению к нему числа 
состоящего из k цифр.
а) Нетрудно видеть, что 
и эти числа получаются друг из друга именно так.
б) Пусть 
тогда
Второй множитель больше первого, поэтому возможны такие варианты:
тогда 
и 
не трехзначное;
тогда 
и не трехзначное;
тогда 
и 
и 
Да, такие числа существуют.
в) Пусть 
тогда
Второй множитель больше первого, при этом
поскольку иначе 
и 
— не
один из множителей кратен 101 и потому равен 101 или 202. Поэтому возможны такие варианты:
тогда 
и 
и 
Этот вариант подходит.
тогда 
и 
и 
Этот вариант не подходит, число не четырехзначное.
Ответ: а) да; б) да; в) 4560.