За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 
и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на 
Определите срок хранения вклада.
Известно:
1. Проценты на вклад начислялись ежемесячно.
2. Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.
Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась k месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в 
раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.
При изменении процентной надбавки с 
на 
(ставка продержалась m месяцев) первоначальная сумма вклада за 
месяцев увеличится в 
раза.
Предположим, что процентная ставка 
продержалась n месяцев, а процентная ставка 
продержалась t месяцев. Тогда соответствующие коэффициенты повышения составят:
и 
Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке составит:
С другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на 
то есть в
раза.
Значит,
Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования. В таком случае:
Решим эту систему относительно натуральных 
и 
Из последнего уравнения системы имеем: 
При этих значениях k и m система примет вид:
Итак, 
вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях и t 
действительно равно нулю.
Ответ: 7.
Примечание.
Более простой вариант этой задачи см. в номерах 620478, 620778, 635568 и 532959.
-------------
Дублирует задание № 506948.Спрятать критерии