Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 71217

Найдите наименьшее значение функции y = 6x минус \ln (6x) плюс 17 на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Функция определена и дифференцируема на заданном отрезке. Найдем ее производную:

y'(x)=6 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x конец дроби умножить на 6=6 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка 6 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби =0,  новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби  конец системы . равносильно система выражений  новая строка x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,  новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби  конец системы . равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .

Определим знаки производной функции на заданном отрезке, и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

y левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 6 минус \ln 1 плюс 17=18.

 

Ответ: 18.