а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме АВСDA₁B₁C₁D₁ на бо­ко­вых реб­рах АА₁ и DD₁ взяты со­от­вет­ствен­но точки К и М так, что АК : А₁К  =  2 : 3, DM : D₁M  =  4 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ВМК па­рал­лель­на пря­мой АС.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти ВМК, если АВ  =  8, АА₁  =  10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка Е  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не АВ взяли точку К так, что пря­мые СК и АЕ па­рал­лель­ны. От­рез­ки ВЕ и СК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что EL  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка КСЕ.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ВLC к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка AKCD, если пло­щадь тра­пе­ции  ABCD равна 100, а ВС : AD  =  2 : 3.

Петр Ива­но­вич по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Ровно через год (после на­чис­ле­ния про­цен­тов) Петр Ива­но­вич в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул той суммы, ко­то­рую за­дол­жал к тому мо­мен­ту. А еще через год он внес сумму, на 43% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну займа, и тем самым пол­но­стью по­га­сил кре­дит. Каков был про­цент го­до­вых?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

За про­хож­де­ние каж­до­го уров­ня плат­ной се­те­вой игры можно по­лу­чить от одной до трех звезд. При этом со счета участ­ни­ка игры спи­сы­ва­ет­ся 75 руб­лей при по­лу­че­нии одной звез­ды, 60 руб­лей  — при по­лу­че­нии двух звезд и 45 руб­лей при по­лу­че­нии трех звезд. Миша про­шел не­сколь­ко уров­ней игры под­ряд.

а)  Могла ли сумма на его счете умень­шить­ся при этом на 330 руб­лей?

б)  Сколь­ко уров­ней игры про­шел Миша, если сумма на его счете умень­ши­лась на 435 руб­лей, а число по­лу­чен­ных им звезд равно 13?

в)  За прой­ден­ный уро­вень на­чис­ля­ет­ся 5000 очков при по­лу­че­нии трех звезд, 3000  — при по­лу­че­нии двух звезд и 2000  — при по­лу­че­нии одной звез­ды. Какую наи­мень­шую сумму (в руб­лях) мог по­тра­тить на игру Миша, если он на­брал 50 000 очков, по­лу­чив при этом 32 звез­ды?