Дана пра­виль­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. На реб­рах CD, CC₁ и A₁B₁ от­ме­ти­ли точки K, L и M со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что A₁M  =  MB₁, DK  =  2KC, а четырёхуголь­ник AKLM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

а)  До­ка­жи­те, что CL  =  2LC₁.

б)  Най­ди­те объём приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, если AA₁  =  7.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что AD  =  2AA₁, AB  =  3AA₁. Плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны A и C₁ и пе­ре­се­ка­ет ребро CD в точке N такой, что CN  =  2ND.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A₁B₁ в от­но­ше­нии 2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α, если AA₁  =  1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Петр 1 июля 2026 года по­ло­жил на на­ко­пи­тель­ный счёт в банке не­ко­то­рую сумму.

—  30 июня каж­до­го года банк будет на­чис­лять 25% на сумму, ко­то­рая была 29 июня.

—  1 июля 2027, 2028, 2029 годов Петр будет сни­мать со счёта 312 500 руб­лей.

—  1 июля 2029 года на счёте не оста­нет­ся денег.

Сколь­ко дол­жен по­ло­жить Петр на счёт в 2026 году?

Бис­сек­три­са угла A тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K, а окруж­ность опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC,  — в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BMC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KMC, если AC  =  6, BC  =  7, AB  =  8.

В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на бис­сек­три­са АМ. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пер­пен­ди­ку­ляр­но АМ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке N. АВ  =  6; ВС  =  5; АС  =  9.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла С делит от­ре­зок МN по­по­лам.

б)  Пусть Р  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка АВС. Най­ди­те от­но­ше­ние АР : РN.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

На доске на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных не­обя­за­тель­но раз­лич­ных чисел, боль­ших 5, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 45. После чего все числа на доске умень­ши­ли на 1. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись равны 5, с доски стёрли.

а)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех остав­ших­ся на доске чисел уве­ли­чить­ся?

б)  Могло ли быть так, что сна­ча­ла сред­нее ариф­ме­ти­че­ское было равно 32, а потом стало равно 39?

в)  Чему может быть равно наи­боль­шее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске, если из­на­чаль­но оно было равно 32?

На доске на­пи­са­ны 30 на­ту­раль­ных не обя­за­тель­но раз­лич­ных чисел. Все они боль­ше 16, но мень­ше 56, а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 23. Все числа за­ме­ни­ли на в два раза мень­шие и после этого стер­ли те, что ока­за­лись мень­ше 9. При этом на доске обя­за­тель­но оста­лось хотя бы одно число.

а)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех остав­ших­ся чисел быть боль­ше 21?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел быть боль­ше 20, но мень­ше 21?

в)  Какое наи­боль­шее сред­нее ариф­ме­ти­че­ское могло по­лу­чить­ся у остав­ших­ся чисел?