а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точка F  — се­ре­ди­на ребра ВВ₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да АВСDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AFC па­рал­лель­на пря­мой В₁D.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мой В₁D и плос­ко­стью AFС, если па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мо­уголь­ный, AB  =  AD  =  6, AA₁  =  16.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-го марта пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 15 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в пер­вые два ме­ся­ца (ап­рель и май) кли­ент вно­сит рав­ные пла­те­жи по 240 тысяч руб­лей;

—  на­чи­ная с тре­тье­го ме­ся­ца (июнь) и до конца срока долг на 15-е число каж­до­го ме­ся­ца дол­жен быть на 30 тысяч руб­лей мень­ше, чем долг на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— к 15-му числу 15-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния со­ста­ви­ла 1006,5 ты­ся­чи руб­лей.

Най­ди­те сумму кре­ди­та (в ты­ся­чах руб­лей).

Дана тра­пе­ция АВСD с ос­но­ва­ни­я­ми ВС и АD. Точки М и N  — се­ре­ди­ны сто­рон АВ и СD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны А и D, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок ВМ в точке L, а от­ре­зок CN – в точке K (L и K от­лич­ны от кон­цов от­рез­ков ВМ и CN).

а)  До­ка­жи­те, что точки В, С, K, L лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те KN, если из­вест­но, что АK и ВK пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AB  =  25, BC  =  6, CD  =  22, AD  =  19.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно три ре­ше­ния.

На при­лав­ке лежит 95 то­ва­ров раз­ной цены, цена каж­до­го вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом руб­лей. Сред­няя цена то­ва­ров, ко­то­рые де­шев­ле 2000 руб­лей, равна 1960 руб­лей, а сред­няя цена то­ва­ров, ко­то­рые до­ро­же 2000 руб­лей, равна 2050 руб­лей. Сред­няя цена всех 95 то­ва­ров равна 2000 руб­лей.

а)  Может ли то­ва­ров ценой 2000 руб­лей быть ровно 50?

б)  Может ли то­ва­ров ценой более 2000 руб­лей быть в два раза мень­ше, чем то­ва­ров ценой менее 2000 руб­лей?

в)  Какую наи­боль­шую цену (в руб­лях) может иметь товар на при­лав­ке?