Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система 
имеет ровно два решения.
Неравенство задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рис.). Графиком уравнения является окружность радиуса
центр которой ― точка 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу 
данной окружности. Из треугольника POK находим: 
где 
― угловой коэффициент прямой 
Таким образом, 
откуда
Окончательно получаем: 
или 
Ответ: 
или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки) | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули) | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
Неравенство (1) задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рис.).
При 
графиком уравнения (2) является точка (-1; -1) и система не может иметь более одного решения.
При 
графиком уравнения (2) является окружность радиуса центр которой ― точка 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу данной окружности.
Из треугольника POK находим: где 
― угловой коэффициент прямой
Таким образом, 
откуда
Окончательно получаем:
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки) | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули) | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
или Наверх