Ре­ше­ние каж­до­го пунк­та со­сто­ит из двух ча­стей: оцен­ка и при­мер.

Рас­смот­рим моток ве­рев­ки дли­ной x см. Усло­вие того, что его можно раз­ре­зать на n стан­дарт­ных кус­ков, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде или

а)  В дан­ном слу­чае имеем (не­ра­вен­ства стро­гие, по­сколь­ку среди кус­ков есть не­рав­ные). Пусть эту ве­рев­ку можно раз­ре­зать на n стан­дар­тых кус­ков, тогда, при по­лу­ча­ем

то есть этот моток ве­рев­ки нель­зя раз­ре­зать боль­ше, чем на стан­дарт­ных куска.

При по­лу­ча­ем Зна­чит, эту ве­рев­ку можно раз­ре­зать на 33 оди­на­ко­вых стан­дарт­ных куска, но нель­зя раз­ре­зать на боль­шее ко­ли­че­ство стан­дарт­ных кус­ков.

б)  От­рез­ки и яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми не­ра­венств и имеют общие точки для всех n, при ко­то­рых то есть при Зна­чит, любую ве­рев­ку дли­ной см или более можно раз­ре­зать на стан­дарт­ные куски.

До­ка­жем, что ве­рев­ку, длина ко­то­рой боль­ше см, но мень­ше см, нель­зя раз­ре­зать на n стан­дарт­ных кус­ков ни для ка­ко­го При по­лу­ча­ем что про­ти­во­ре­чит усло­вию При по­лу­ча­ем что про­ти­во­ре­чит усло­вию Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число равно 3267.

Ответ: а) 33; б) 3267.

а)  Пусть L  — длина мотка верёвки. Коль скоро его можно раз­ре­зать на 24 стан­дарт­ных куска, вы­пол­не­но не­ра­вен­ство А так как не все куски имеют оди­на­ко­вую длину, не­ра­вен­ство яв­ля­ет­ся стро­гим:

По тем же самым при­чи­нам спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство Итак,

Те­перь за­ме­тим, что и По­это­му и мы по­лу­ча­ем новое двой­ное не­ра­вен­ство для L:

Пред­по­ло­жим, что моток можно раз­ре­зать на стан­дарт­ных кус­ков оди­на­ко­вой длины. Тогда имеем не­ра­вен­ство

ко­то­рое про­ти­во­ре­чит не­ра­вен­ству. Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что наш моток можно раз­ре­зать на 24 оди­на­ко­вых стан­дарт­ных куска. Из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что где Раз­ре­жем моток на 24 куска оди­на­ко­вой длины; тогда длина d од­но­го куска равна:

С одной сто­ро­ны, С дру­гой сто­ро­ны,

Итак, так что куски яв­ля­ют­ся стан­дарт­ны­ми. Сле­до­ва­тель­но, дан­ный моток раз­ре­за­ет­ся самое боль­шее на 24 оди­на­ко­вых стан­дарт­ных куска.

б)  Сфор­му­ли­ру­ем и решим за­да­чу в общем виде  — тем самым яснее про­явит­ся идея её ре­ше­ния.

Пусть a и b  — на­ту­раль­ные числа (a < b). Вся­кое число, рас­по­ло­жен­ное на от­рез­ке на­зы­ва­ем стан­дарт­ным. Нам надо найти такое наи­мень­шее число l, что любое число можно пред­ста­вить в виде суммы стан­дарт­ных сла­га­е­мых.

Cуще­ству­ет наи­боль­шее на­ту­раль­ное n, для ко­то­ро­го вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

В самом деле, не­труд­но ви­деть, что это есть наи­боль­шее на­ту­раль­ное n, удо­вле­тво­ря­ю­щее не­ра­вен­ству Обо­зна­чим его n₀:

Пусть сна­ча­ла По­ка­жем, что найдётся не пред­ста­ви­мое в виде суммы стан­дарт­ных сла­га­е­мых. Возьмём L таким, что Иными сло­ва­ми, мы вы­би­ра­ем число L, од­но­вре­мен­но удо­вле­тво­ря­ю­щее двум усло­ви­ям:

1)  

2)  

По­сколь­ку из вто­ро­го усло­вия сле­ду­ет не­ра­вен­ство

Пред­по­ло­жим, что L равно сумме k стан­дарт­ных сла­га­е­мых. Тогда От­сю­да и из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что од­но­вре­мен­но вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства и По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что L нель­зя пред­ста­вить в виде суммы стан­дарт­ных

сла­га­е­мых.

Пусть те­перь По­ка­жем, что любое число можно пред­ста­вить в виде суммы стан­дарт­ных сла­га­е­мых.

Для лю­бо­го L найдётся на­ту­раль­ное n такое, что По­сколь­ку вы­пол­не­но имеем От­сю­да в со­от­вет­ствии с опре­де­ле­ни­ем числа n₀ за­клю­ча­ем, что Это даёт нам не­ра­вен­ство

или

Сле­до­ва­тель­но, L можно пред­ста­вить в виде суммы n стан­дарт­ных сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых равно

Таким об­ра­зом, мы нашли наи­мень­шее l, такое, что любое число пред­став­ля­ет­ся сум­мой стан­дарт­ных сла­га­е­мых. Это наи­мень­шее l равно

Остаётся при­ме­нить по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты к ис­ход­ной за­да­че. Имеем: a  =  168, b  =  175, так что

На­хо­дим Тогда

Ответ: а) 24; б) 4032.

Ре­ше­ние каж­до­го пунк­та со­сто­ит из двух ча­стей: оцен­ка и при­мер.

Рас­смот­рим моток ве­рев­ки дли­ной x см. Усло­вие того, что его можно раз­ре­зать на n стан­дарт­ных кус­ков, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде или

а)  В дан­ном слу­чае имеем (не­ра­вен­ства стро­гие, по­сколь­ку среди кус­ков есть не­рав­ные). Пусть эту ве­рев­ку можно раз­ре­зать на n стан­дарт­ных кус­ков, тогда При по­лу­ча­ем

т. е. этот моток ве­рев­ки нель­зя раз­ре­зать боль­ше, чем на 23 стан­дарт­ных куска.

При по­лу­ча­ем Зна­чит, эту ве­рев­ку можно раз­ре­зать на 23 оди­на­ко­вых стан­дарт­ных куска, но нель­зя раз­ре­зать на боль­шее ко­ли­че­ство стан­дарт­ных кус­ков.

б)  От­рез­ки и яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми не­ра­венств и имеют общие точки для всех n, при ко­то­рых то есть при Зна­чит, любую ве­рев­ку дли­ной см или более можно раз­ре­зать на стан­дарт­ные куски.

До­ка­жем, что ве­рев­ку, длина ко­то­рой боль­ше см, но мень­ше см, нель­зя раз­ре­зать на n стан­дарт­ных кус­ков ни для ка­ко­го При по­лу­ча­ем что про­ти­во­ре­чит усло­вию При по­лу­ча­ем что про­ти­во­ре­чит усло­вию Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число равно 2645.

Ответ: а) 23; б) 2645.