а)  Пусть было 3 участ­ни­ка, ко­то­рые на­бра­ли 90, 72 и 2 балла. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест  балла. После до­бав­ле­ния бал­лов у участ­ни­ков ока­за­лось 95, 77 и 7 бал­лов. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 7 бал­лов.

б)  В при­ме­ре преды­ду­ще­го пунк­та сред­ний балл участ­ни­ков теста, сдав­ших тест, пер­во­на­чаль­но со­став­лял 90 бал­лов, а после до­бав­ле­ния бал­лов со­ста­вил бал­лов.

в)  Пусть всего было N участ­ни­ков теста, сдали тест a участ­ни­ков, после до­бав­ле­ния бал­лов сдали тест b участ­ни­ков. За­ме­тим, что сред­ний балл после до­бав­ле­ния со­ста­вил 85. Имеем два урав­не­ния: 80N  =  65(N − a) + 90a и 85N  =  69(N − b) + 93b, от­ку­да 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. По­это­му целое число N де­лит­ся на 5 и на 3, то есть де­лит­ся на 15. Таким об­ра­зом, N ≥ 15.

По­ка­жем, что N могло рав­нять­ся 15. Пусть из­на­чаль­но 5 участ­ни­ков на­бра­ли по 64 балла, 1 участ­ник  — 70 бал­лов и 9 участ­ни­ков по 90 бал­лов. Тогда сред­ний балл был равен 80, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, был равен 90, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, был равен 65. После до­бав­ле­ния сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 93, сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, стал равен 69. Таким об­ра­зом, все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  15.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та в) Алек­сандра Кри­во­ла­по­ва (Бу­зу­лук).

Пусть a  — ко­ли­че­ство уче­ни­ков, сдав­ших тест из­на­чаль­но, b  — ко­ли­че­ство че­ло­век, так и не сдав­ших тест после до­бав­ле­ния бал­лов, n  — ко­ли­че­ство че­ло­век, ре­зуль­тат ко­то­рых пре­вы­сил про­ход­ной балл после до­бав­ле­ния бал­лов. До до­бав­ле­ния сред­ний балл всех участ­ни­ков был равен 80, сред­ний балл не сдав­ших был равен 65, а сдав­ших  — 90, а после до­бав­ле­ния 5 бал­лов каж­до­му сред­ний балл всех участ­ни­ков стал равен 85, не сдав­ших  — 69, сдав­ших  — 93. За­ме­тим, что сред­ний балл всех участ­ни­ков равен сред­не­му баллу сдав­ших и не сдав­ших тест. Таким об­ра­зом, до до­бав­ле­ния бал­лов:

После при­бав­ле­ния бал­лов:

Из урав­не­ний (*) и (**) по­лу­ча­ем си­сте­му:

При n  =  1 ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство участ­ни­ков равно 15.

По­ка­жем до­сти­жи­мость най­ден­но­го зна­че­ния: из сред­не­го балла не сдав­ших участ­ни­ков после до­бав­ле­ния 5 бал­лов по­лу­ча­ем, что из­на­чаль­но у b участ­ни­ков в сред­нем было по 64 балла. Из сред­не­го балла сдав­ших участ­ни­ков до при­бав­ле­ния 5 бал­лов по­лу­ча­ем, что из­на­чаль­но у a участ­ни­ков в сред­нем было по 90 бал­лов. Пусть x  — сред­ний балл не сдав­ших участ­ни­ков до до­бав­ле­ния, тогда:

Таким об­ра­зом, под­хо­дит при­мер: 5 участ­ни­ков, на­брав­ших 64 балла, 1 участ­ник, на­брав­ший 70 бал­лов, 9 участ­ни­ков, на­брав­ших 90 бал­лов.

а)  Пусть было 3 уче­ни­ка, ко­то­рые на­бра­ли 100, 82 и 2 балла. Сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест  балла. После до­бав­ле­ния бал­лов у уче­ни­ков ока­за­лось 105, 87 и 7 бал­лов. Сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 7 бал­лов.

б)  В при­ме­ре преды­ду­ще­го пунк­та сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, пер­во­на­чаль­но со­ста­вил 100 бал­лов, а после до­бав­ле­ния бал­лов со­ста­вил бал­лов.

в)  Пусть всего было N участ­ни­ков теста, сдали тест a уче­ни­ков, после до­бав­ле­ния бал­лов сдали тест b уче­ни­ков. За­ме­тим, что сред­ний балл после до­бав­ле­ния со­ста­вил 95. Имеем два урав­не­ния:

от­ку­да 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. Таким об­ра­зом, N ≥ 15.

По­ка­жем, что N могло рав­нять­ся 15. Пусть из­на­чаль­но 5 уче­ни­ков на­бра­ли по 74 балла, 1 уче­ник  — 80 бал­лов и 9 уче­ни­ков по 100 бал­лов. Тогда сред­ний балл был равен 90, сред­ний бал уче­ни­ков, сдав­ших тест, был равен 100, а сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, был равен 75. После до­бав­ле­ния сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 103, сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, стал равен 79. Таким об­ра­зом, все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

а)  Пусть было три уче­ни­ка, ко­то­рые на­бра­ли 90, 61 и 3 балла. Сред­ний балл уче­ни­ков не сдав­ших тест балла. после до­бав­ле­ния бал­лов участ­ни­ков ока­за­лось 94, 65 и 7 бал­лов. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 7 бал­лов.

б)  В при­ме­ре преды­ду­ще­го пунк­та сред­ний балл, сдав­ших тест, пер­во­на­чаль­но со­став­лял 90 бал­лов, а после до­бав­ле­ния бал­лов со­ста­вил бал­лов.

в)  Пусть всего было N участ­ни­ков теста, сдали тест a участ­ни­ков, после до­бав­ле­ния бал­лов сдали b участ­ни­ков. За­ме­тим, что сред­ний балл после до­бав­ле­ния со­ста­вил 74 балла. имеем два урав­не­ния: от­ку­да то есть и то есть По­это­му целое число N де­лит­ся на 5 и на 3, то есть де­лит­ся на 15. Таким об­ра­зом, N ≥ 15.

По­ка­жем, что N могло рав­нять­ся 15: пусть из­на­чаль­но 5 участ­ни­ков на­бра­ли по 54 балла, один уче­ник  — 60 бал­лов и 9 уче­ни­ков по 80 бал­лов. Тогда сред­ний балл был был равен 70, сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, был равен 80, а сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, был равен 55. После до­бав­ле­ния сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 82, а не сдав­ших тест  — 58. Таким об­ра­зом, все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

а,б) Если, на­при­мер, было три уче­ни­ка с бал­ла­ми то усло­вия обоих пунк­тов вы­пол­нят­ся.

в)  Пусть было x уче­ни­ков с бал­ла­ми от y уче­ни­ков с бал­ла­ми от до и z уче­ни­ков с бал­ла­ми мень­ше Тогда по усло­вию? счи­тая суммы бал­лов от­дель­но в груп­пах и у всех вме­сте, по­лу­чим

То есть и от­ку­да По­это­му наи­мень­шие зна­че­ния будут такие - Зна­чит, всего уче­ни­ков не менее 15.

Это воз­мож­но. Пусть, на­при­мер, было 10 уче­ни­ков, по­лу­чив­ших 52, 3 уче­ни­ка, по­лу­чив­ших 30, 2 уче­ни­ка, по­лу­чив­ших 40.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

а, б) Если было по од­но­му участ­ни­ку с 2, 80, 1000 бал­лов, то сред­ний балл сдав­ших со­став­лял 1000, а не­сдав­ших  — 41. После до­бав­ки их ре­зуль­та­ты стали 7, 85, 1005. Те­перь сред­ний балл не­сдав­ших 7, а сдав­ших 545.

в)  Пусть было x школь­ни­ков с ре­зуль­та­том не менее 83 (они сдали сразу), y школь­ни­ков с ре­зуль­та­та­ми от 78 до 82 (они сдали после до­бав­ле­ния бал­лов) и z школь­ни­ков с ре­зуль­та­та­ми, мень­ши­ми 78 бал­лов (они не сдали не­смот­ря на до­бав­ку). По­сколь­ку сред­нее равно сумме бал­лов, де­лен­ной на число сда­ю­щих, по­лу­ча­ем:

− сумма всех бал­лов участ­ни­ков

− сумма бал­лов сдав­ших из­на­чаль­но

− сумма бал­лов из­на­чаль­но не­сдав­ших

− сумма бал­лов у сдав­ших после до­бав­ки

− сумма бал­лов у не­сдав­ших даже после до­бав­ки

Если сло­жить баллы сдав­ших и баллы не­сдав­ших, по­лу­чат­ся баллы всех (после до­бав­ки надо не за­быть до­ба­вить всем по 5 бал­лов). По­лу­ча­ем два урав­не­ния

После упро­ще­ния по­лу­чим и То есть и Зна­чит,

Итак, уче­ни­ков было не менее 15. При­ве­дем при­мер для 15 уче­ни­ков. Было 9 уче­ни­ков с ре­зуль­та­том 100, 5 уче­ни­ков с ре­зуль­та­том 74 и один уче­ник с ре­зуль­та­том 80. Не­труд­но про­ве­рить, что все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.

а, б) Да, если, на­при­мер, трое пре­тен­ден­тов внес­ли за­ло­ги в 10, 140, 500 тыс. руб. После при­бав­ки они пре­вра­ти­лись в 20, 150, 510 тыс. руб. Сред­нее у до­стиг­ших со­ста­ви­ло 330 < 500, у не­до­стиг­ших 20 < 75.

в)  Будем счи­тать все в ты­ся­чах руб­лей. Пусть х  — ко­ли­че­ство тех, кто внес мень­ше 140 тыс. руб., у  — тех, кто внес от 140 до 149, z  — ко­ли­че­ство внес­ших не менее 150 тыс. руб. Тогда общая сумма за­ло­гов со­ста­вит сумма за­ло­гов тре­тьей груп­пы 160z, а сумма за­ло­гов пер­вой и вто­рой групп После до­бав­ле­ния 10 тыс. руб. общая сумма со­ста­вит сумма за­ло­гов пер­вой груп­пы 120x, а сумма за­ло­гов вто­рой и тре­тьей групп По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Вы­ра­жая y из пер­во­го урав­не­ния и под­став­ляя во вто­рое, на­хо­дим: от­ку­да тогда и по­это­му общее ко­ли­че­ство людей со­ста­вит

Оста­лось при­ду­мать при­мер, в ко­то­ром Пусть из­на­чаль­но был один че­ло­век с за­ло­гом 160 тыс. руб., трое с за­ло­га­ми по 140 тыс. руб. и трое с за­ло­га­ми по 110 тыс. руб., тогда все усло­вия вы­пол­ня­ют­ся.

При­ме­ча­ние.

Это пе­ре­фор­му­ли­ров­ка за­да­чи из ос­нов­ной волны ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, про­шед­ше­го 04.06.2015 (за­да­ние 509974). Ана­ло­гич­ные за­да­ния: 521827 и 527567 из ва­ри­ан­тов А. Ла­ри­на 235 и 270 со­от­вет­ствен­но.