Пусть в пер­вой шахте на до­бы­че алю­ми­ния за день будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-часов, а во вто­рой шахте − y че­ло­ве­ко-часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Алю­ми­ний		Ни­кель
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Ко­ли­че­ство ме­тал­ла за день, кг	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-часов	Ко­ли­че­ство ме­тал­ла за день, кг
Шахта 1	x	x
Шахта 2	y	2y
Всего

По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать вдвое боль­ше ни­ке­ля, имеем:

Пусть s  — масса спла­ва, она втрое боль­ше массы до­бы­то­го ни­ке­ля: Най­дем наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него :

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние y. Из ясно, что наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние y равно 350, при этом х  =  0, Это озна­ча­ет, что 350 че­ло­ве­ко-часов во вто­рой шахте долж­ны быть за­тра­че­ны для до­бы­чи алю­ми­ния, а остав­ши­е­ся 150 че­ло­ве­ко-⁠часов во вто­рой шахте и все 100 че­ло­ве­ко-⁠часов в пер­вой шахте долж­ны быть за­тра­че­ны для до­бы­чи ни­ке­ля. При этом будет до­бы­то 700 кг алю­ми­ния и 350 кг ни­ке­ля, а масса спла­ва будет равна 1050 кг.

Ответ: 1050 кг.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

На пер­вой шахте наи­бо­лее эф­фек­тив­но до­бы­ва­ют ни­кель. Пусть все 100 че­ло­ве­ко-часов в пер­вой шахте будут за­тра­че­ны для до­бы­чи ни­ке­ля, тогда его до­бу­дут на ней 200 кг. Для по­лу­че­ния с спла­ва с до­бы­тым на пер­вой шахте ни­ке­лем на вто­рой шахте не­об­хо­ди­мо до­быть 400 кг алю­ми­ния, с этим спра­вят­ся 40 ра­бо­чих, ра­бо­тая по 5 часов каж­дый. Из остав­ших­ся 60 ра­бо­чих вто­рой шахты можно по­ло­ви­ну на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния, а вто­рую по­ло­ви­ну  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они про­из­ве­дут 150 кг ни­ке­ля и 300 кг алю­ми­ния. При этом всего будет до­бы­то 700 кг алю­ми­ния и 350 кг ни­ке­ля, а масса общая спла­ва будет равна 1050 кг.

По­ка­жем, что луч­шей про­из­во­ди­тель­но­сти не до­стичь: дей­стви­тель­но, ра­бо­чие не про­ста­и­ва­ют, ме­тал­ла не до­бы­ва­ет­ся с из­быт­ком. Если же на пер­вой шахте за kn че­ло­ве­ко-⁠часов вме­сто 2kn кг ни­ке­ля до­бу­дут kn кг алю­ми­ния, то для про­из­вод­ства спла­ва на вто­рой шахте по­тре­бу­ет­ся до­быть 0,5kn ни­ке­ля вме­сто воз­мож­ных kn кг алю­ми­ния. При таком рас­пре­де­ле­нии уси­лий ра­бо­чих вме­сто воз­мож­ных 3kn кг спла­ва будет про­из­ве­де­но 1,5kn кг спла­ва, то есть труд будет не­эф­фек­тив­ным.

Пусть в пер­вой шахте х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 60 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 5 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 10 кг алю­ми­ния или 15 кг ни­ке­ля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут 10х кг алю­ми­ния и 15(60 − х) кг ни­ке­ля.

Пусть во вто­рой шахте у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, а 260 − у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля. Ра­бо­тая 5 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 15 кг алю­ми­ния или 10 кг ни­ке­ля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут 15у кг алю­ми­ния и 10(260 − у) кг ни­ке­ля.

Всего будет про­из­ве­де­но кг алю­ми­ния (1) и кг ни­ке­ля (2). По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать вдвое боль­ше ни­ке­ля, имеем:

Пусть s  — масса спла­ва, она втрое боль­ше массы до­бы­то­го ни­ке­ля: Най­дем наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние y. Из (*) ясно, что наи­боль­шее воз­мож­ное y равно 200, при этом х  =  0, Это озна­ча­ет, что все 60 ра­бо­чих пер­вой шахты и 60 ра­бо­чих вто­рой шахты долж­ны быть за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля, а остав­ши­е­ся 200 ра­бо­чих вто­рой шахты долж­ны быть за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния. При этом они до­бу­дут 3000 кг алю­ми­ния и 1500 кг ни­ке­ля, а масса спла­ва будет равна 4500 кг.

Ответ: 4500 кг.