Если рей­тинг фут­бо­ли­стов на сайте равен 41, то доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, на­хо­дит­ся в гра­ни­цах от 0,405 до 0,415. По­сколь­ку всего про­го­ло­со­ва­ло 17 по­се­ти­те­лей сайта, по­лу­ча­ем, что ко­ли­че­ство го­ло­сов, от­дан­ных за этого фут­бо­ли­ста, не мень­ше но мень­ше то есть равно 7. После того, как Вася про­го­ло­со­вал, доля го­ло­сов за пер­во­го фут­бо­ли­ста стала равна Зна­чит, его рей­тинг стал равен 39.

б)  Пусть за 133 фут­бо­ли­стов было от­да­но по од­но­му го­ло­су, а за остав­ше­го­ся  — 67. В этом слу­чае 133 фут­бо­ли­ста имеют рей­тинг 1, а по­след­ний  — 34; сумма рей­тин­гов равна 167. Если Вася от­даст свой голос за по­след­не­го фут­бо­ли­ста, то его рей­тинг оста­нет­ся рав­ным 34, а рей­тин­ги всех осталь­ных фут­бо­ли­стов ста­нут равны 0. В этом слу­чае сумма рей­тин­гов ста­нет равна 34, то есть умень­шит­ся на 133.

в)  За­ме­тим, что для каж­до­го из 134 фут­бо­ли­стов доля от­дан­ных за него го­ло­сов, вы­ра­жен­ная в про­цен­тах, от­ли­ча­ет­ся от рей­тин­га не более чем на 0,5. По­это­му сумма рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов от­ли­ча­ет­ся от 100 не более чем на В част­но­сти, эта сумма не может пре­вос­хо­дить 167.

При­мер, при­ведённый в преды­ду­щем пунк­те, по­ка­зы­ва­ет, что сумма рей­тин­гов может рав­нять­ся 167. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние суммы рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов  — 167.

Ответ: а)  39; б)  да; в)  167.

а)  Если рей­тинг фут­бо­ли­ста на сайте равен 45, то доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, на­хо­дит­ся в гра­ни­цах от 0,445 до 0,455. По­сколь­ку всего про­го­ло­со­ва­ло 11 по­се­ти­те­лей сайта, по­лу­ча­ем, что ко­ли­че­ство го­ло­сов, от­дан­ных за этого фут­бо­ли­ста, не мень­ше но мень­ше то есть равно 5. После того как Вася про­го­ло­со­вал, доля го­ло­сов за пер­во­го фут­бо­ли­ста стала равна Зна­чит, его рей­тинг стал равен 42.

б)  Пусть за 155 фут­бо­ли­стов было от­да­но по од­но­му го­ло­су, а за остав­ше­го­ся  — 45, всего 200 го­ло­сов. В этом слу­чае 155 фут­бо­ли­стов имеют рей­тинг 1, а по­след­ний  — 23; сумма рей­тин­гов равна 178. Если Вася от­даст свой голос за по­след­не­го фут­бо­ли­ста, то его рей­тинг оста­нет­ся рав­ным 23, а рей­тин­ги всех осталь­ных фут­бо­ли­стов ста­нут равны 0. В этом слу­чае сумма рей­тин­гов ста­нет равна 23, то есть умень­шит­ся на 155.

в)  За­ме­тим, что для каж­до­го из 156 фут­бо­ли­стов доля от­дан­ных за него го­ло­сов, вы­ра­жен­ная в про­цен­тах, от­ли­ча­ет­ся от рей­тин­га не более чем на 0,5. По­это­му сумма рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов от­ли­ча­ет­ся от 100 не более чем на В част­но­сти, эта сумма не может пре­вос­хо­дить 178. При­мер, при­ведённый в преды­ду­щем пунк­те, по­ка­зы­ва­ет, что сумма рей­тин­гов может рав­нять­ся 178. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние суммы рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов  — это 178.

Ответ: а) 42; б) да; в) 178.

a)  Если рей­тинг фут­бо­ли­ста на сайте равен 31, то доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, на­хо­дит­ся в гра­ни­цах от 0,305 до 0,315. По­сколь­ку всего про­го­ло­со­ва­ло 13 по­се­ти­те­лей сайта, по­лу­ча­ем, что ко­ли­че­ство го­ло­сов, от­дан­ных за этого фут­бо­ли­ста, не мень­ше но мень­ше то есть равно 4. После того как Вася про­го­ло­со­вал, доля го­ло­сов за пер­во­го фут­бо­ли­ста стала равна Зна­чит, его рей­тинг стал равен 29.

6)  Пусть за 145 фут­бо­ли­стов было от­да­но по од­но­му го­ло­су, а за остав­ше­го­ся  — 55, всего 200 го­ло­сов. В этом слу­чае 145 фут­бо­ли­стов имеют рей­тинг 1, а по­след­ний  — 28; сумма рей­тин­гов равна 173. Если Вася от­даст свой голос за по­след­не­го фут­бо­ли­ста, то его рей­тинг оста­нет­ся рав­ным 28, а рей­тин­ги всех осталь­ных фут­бо­ли­стов ста­нут равны 0. В этом слу­чае сумма рей­тин­гов ста­нет равна 28, то есть умень­шит­ся на 145.

в)  За­ме­тим, что для каж­до­го из 146 фут­бо­ли­стов доля от­дан­ных за него го­ло­сов, вы­ра­жен­ная в про­цен­тах, от­ли­ча­ет­ся от рей­тин­га не более чем на 0,5. По­это­му сумма рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов от­ли­ча­ет­ся от 100 не более чем на В част­но­сти, эта сумма не может пре­вос­хо­дить 173. При­мер, при­ведённый в преды­ду­щем пунк­те, по­ка­зы­ва­ет, что сумма рей­тин­гов может рав­нять­ся 173. Зна­чит, на­боль­шее зна­че­ние суммы рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов  — это 173.

Ответ: а) 29; 6) да; в) 173.

а)  По усло­вию, если за пер­во­го фут­бо­ли­ста про­го­ло­со­ва­ли x че­ло­век из 14, его рей­тинг равен округ­лен­но­му до бли­жай­ше­го це­ло­го числа, то есть от­ку­да и Зна­чит, те­перь его рей­тинг при­мер­но равен что будет округ­ле­но до 33.

б)  Да. Пусть из 200 по­се­ти­те­лей сайта 66 про­го­ло­со­ва­ли за пер­во­го фут­бо­ли­ста и по 67 за вто­ро­го и тре­тье­го. Тогда их рей­тин­ги будут равны 33, 34, 34  — в сумме 101.

Пусть всего было по­да­но n го­ло­сов, не счи­тая Васин, из ко­то­рых x были за этого фут­бо­ли­ста. Тогда по усло­вию

от­ку­да

Зна­чит, от­ку­да

При по­лу­ча­ем что не­воз­мож­но для це­ло­го x. При уве­ли­че­нии n и ниж­няя и верх­няя гра­ни­цы рас­тут. Пока верх­няя не ста­нет боль­ше 1800, целое x точно не най­дет­ся. Зна­чит,

При по­лу­ча­ем что тоже не­воз­мож­но. Те­перь нужно сде­лать верх­нюю гра­ни­цу не мень­ше 2000, то есть

При по­лу­ча­ем что воз­мож­но при Итак, ми­ни­маль­ное n равно 116, а вме­сте с Ва­си­ным го­ло­сом  — 117.

Ответ: а)  33, б)  да, в)  117.