Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 
Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
вершина S проектируется в точку пересечения диагоналей, поэтому боковые ребра равны между собой. По теореме косинусов в треугольнике ABS:
тогда 
откуда 
Аналогично находим 
Тогда:
что и требовалось доказать.
В треугольнике CBQ: угол Q — прямой, 
тогда 
В треугольнике APB: угол P — прямой, 
В треугольнике ABC': угол B — прямой, 
как показано на рисунке. По правилам сложения векторов получаем: 
Запишем условие перпендикулярности: 
откуда ##
и 
Значит, 
Применим выражения векторов через базис и упростим получившиеся уравнение так же, как это сделано выше. В результате получаем: 
Сравнивая коэффициенты, находим, что 
Следовательно, точка P делит пополам отрезок BQ, что и требовалось доказать.
и 
По условию BS = 8. Применим теорему Пифагора к треугольнику BSO, получаем длину базисного вектора: 
Теперь воспользуемся выражениями векторов, которые из п. а), откуда получим: 
и 
Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 
а BC равна 6. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.
(т. к. S проектируется в центр).
откуда 
откуда 
Проведем PC' параллельно QC, C принадлежит BC, тогда угол APC' — искомый. Поскольку PC' параллельно QC и P — середина QB, то PC' — средняя линия, тогда 
В треугольнике CBQ: угол Q — прямой, 
тогда 
В треугольнике APB: угол P — прямой, 
В треугольнике ABC': угол B — прямой, 
