Ре­ше­ние. Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем мень­ше­го ко­ну­са в во­семь раз мень­ше объ­е­ма боль­ше­го ко­ну­са.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Объем ко­ну­са равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та ко­ну­са. Вы­со­ту ко­ну­са най­дем по свой­ству сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, на­хо­дя­щей­ся на­про­тив угла в °: он вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы, ко­то­рой в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда объем

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Объем ко­ну­са равен

где S  — пло­щадь ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та ко­ну­са. При умень­ше­нии вы­со­ты в 3 раза объем ко­ну­са также умень­шит­ся в 3 раза.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Объем ко­ну­са равен

Ответ: 2,25.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на

Ответ: 128.

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r, вы­со­той h и об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са l, углы при об­ра­зу­ю­щей равны, по­это­му вы­со­та ко­ну­са равна ра­ди­у­су его ос­но­ва­ния: h  =  r. Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC  — так же рав­но­бед­рен­ный, т. к. углы при ос­но­ва­нии Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 6, а для объ­е­ма ко­ну­са, де­лен­но­го на имеем:

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна где C  — длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а l  — об­ра­зу­ю­щая. Тогда

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна где C  — длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а l  — об­ра­зу­ю­щая. При уве­ли­че­нии об­ра­зу­ю­щей в 3 раза пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са уве­ли­чит­ся в 3 раза.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти в ос­но­ва­нии, а l  — об­ра­зу­ю­щая. По­это­му при умень­ше­нии ра­ди­у­са ос­но­ва­ния в 1,5 раза при не­из­мен­ной ве­ли­чи­не об­ра­зу­ю­щей пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти тоже умень­шит­ся в 1,5 раза.

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти скла­ды­ва­ет­ся из пло­ща­ди ос­но­ва­ния и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом: Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: 144.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти Из усло­вия имеем:

Зна­чит, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния ко­ну­са, катет, рав­ный ра­ди­у­су, вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы. Тогда он лежит на­про­тив угла 30°. Сле­до­ва­тель­но, угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь от­се­чен­но­го ко­ну­са в 4 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ис­ход­но­го. Таким об­ра­зом, она равна 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Най­дем об­ра­зу­ю­щую по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Объем дан­ной части ко­ну­са равен

Ответ: 87,75.

Ре­ше­ние. Объем дан­ной части ко­ну­са равен

Ответ: 243.

Ре­ше­ние. Объем дан­ной части ко­ну­са равен

Ответ: 216.

Ре­ше­ние. Объем дан­ной части ко­ну­са равен

Ответ: 607,5.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, его вы­со­та и об­ра­зу­ю­щая свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем В нашем слу­чае по­это­му Сле­до­ва­тель­но, диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том 0,5. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­са, он равен 560 мл. Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо до­лить 560 − 70  =  490 мл жид­ко­сти.

Ответ: 490.

Ре­ше­ние. Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са, а ос­но­ва­ние яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния ко­ну­са. По­это­му пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния вы­со­ты ко­ну­са на диа­метр его ос­но­ва­ния или про­из­ве­де­нию вы­со­ты ко­ну­са на ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. По­сколь­ку по усло­вию ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 4, а тогда ис­ко­мая пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 24.

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Се­че­ние плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, пред­став­ля­ет собой круг, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са как 3 : 9. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му пло­щадь се­че­ния в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Таким об­ра­зом, она равна 2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го  — диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, а вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са l, его вы­со­та h и ра­ди­ус ос­но­ва­ния r свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь осе­во­го се­че­ния

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го  — диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, а вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са l, его вы­со­та h и ра­ди­ус ос­но­ва­ния r свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 0,5 · 12 · 8  =  48.

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком, сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ние  — диа­метр его ос­но­ва­ния. По­это­му для тре­уголь­ни­ка AMB имеем:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Ис­ход­ный и от­се­чен­ный конус по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 3. Пло­ща­ди по­верх­но­стей по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му пло­щадь ос­но­ва­ния отсечённого ко­ну­са в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­но­го. Таким об­ра­зом, она равна 5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Най­дем вы­со­ту ко­ну­са:

Вы­чис­лим ра­ди­ус шара по фор­му­ле:

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна

Пло­щадь по­верх­но­сти шара, делённая на π, равна 12.

Ответ: 12.