Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 2 № 27094

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Спрятать решение

Решение.

Объем конуса равен

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Sh,

 

где  S — площадь основания, а  h — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

 

Ответ: 3.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объём цилиндра, конуса, шара
Классификатор стереометрии: Объём цилиндра, конуса, шара
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 07.05.2013 15:35

V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!

Александр Иванов

Она же формула объема конуса.

Гость 17.05.2013 19:35

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, - объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.

 

В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.

 

С уважением. И. И.