СДАМ ГИА






Каталог заданий. Сюжетные задачи
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

В трёх вер­ши­нах квад­ра­та на­хо­дят­ся три кузнечика. Они иг­ра­ют в чехарду, т. е. пры­га­ют друг через друга. При этом, если куз­не­чик A пры­га­ет через куз­не­чи­ка B, то после прыж­ка он ока­зы­ва­ет­ся от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них по­пасть в четвёртую вер­ши­ну квадрата?

Задание 0 № 505591


Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.
2

Два иг­ро­ка ходят по очереди. Перед на­ча­лом игры у них есть по­ров­ну горошин. Ход со­сто­ит в пе­ре­да­че со­пер­ни­ку лю­бо­го числа горошин. Не раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­да­вать такое ко­ли­че­ство горошин, ко­то­рое до этого уже кто‐то в этой пар­тии передавал. Ноль го­ро­шин тоже пе­ре­да­вать нельзя. Тот, кто не может сде­лать оче­ред­ной ход по правилам, — счи­та­ет­ся проигравшим. Кто — на­чи­на­ю­щий или его со­пер­ник — по­бе­дит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи:

а) У каж­до­го по две горошины;

б) У каж­до­го по три горошины;

в) Общий случай: у каж­до­го по N горошин.

Задание 0 № 505597


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.
Решение

3

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть  

а) 34;

б) 35;

в) 56 игр?

Задание 0 № 505603


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.
4

Леша за­ду­мал дву­знач­ное число (от 10 до 99). Гриша пы­та­ет­ся его отгадать, на­зы­вая дву­знач­ные числа. Если Гриша пра­виль­но на­зы­ва­ет число, или же одну цифру на­зы­ва­ет правильно, а в дру­гой оши­ба­ет­ся не более чем на единицу, то Леша от­ве­ча­ет «тепло»; в осталь­ных слу­ча­ях Леша от­ве­ча­ет «холодно». (Например, если за­ду­ма­но число 65, то на­звав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услы­шит в ответ «тепло», а в осталь­ных слу­ча­ях услы­шит «холодно».)

а) Покажите, что нет способа, при ко­то­ром Гриша га­ран­ти­ро­ван­но узна­ет число, ис­тра­тив 18 попыток.

б) При­ду­май­те способ, при ко­то­ром Гриша га­ран­ти­ро­ван­но узна­ет число, ис­тра­тив 24 по­пыт­ки (какое бы число ни за­ду­мал Леша).

в) А за 22 по­пыт­ки получится?

Задание 0 № 505621


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.
5

В бо­та­ни­че­ском спра­воч­ни­ке каж­дое рас­те­ние ха­рак­те­ри­зу­ет­ся 100 при­зна­ка­ми (каждый при­знак либо присутствует, либо отсутствует). Рас­те­ния счи­та­ют­ся "непохожими", если они раз­ли­ча­ют­ся не менее, чем по 51 признаку.

а) Покажите, что в спра­воч­ни­ке не может на­хо­дить­ся боль­ше 50 по­пар­но не­по­хо­жих растений.

б) А может ли быть 50?

Задание 0 № 505645


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.
6

школь­ни­ков хотят раз­де­лить по­ров­ну оди­на­ко­вых шоколадок, при этом

каждую шо­ко­лад­ку можно раз­ло­мить не более од­но­го раза.

а) При каких это возможно, если

б) При каких и это возможно?

Задание 0 № 505657


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.
7

Даны N синих и N крас­ных палочек, при­чем сумма длин синих па­ло­чек равна сумме длин красных. Известно, что из синих па­ло­чек можно сло­жить N‐угольник, и из крас­ных — тоже. Все­гда ли можно вы­брать одну синюю и одну крас­ную па­лоч­ки и пе­ре­кра­сить их (синюю — в крас­ный цвет, а крас­ную — в синий) так, что снова из синих па­ло­чек можно будет сло­жить N‐угольник, и из крас­ных — тоже?

Решите за­да­чу

а) для N = 3;

б) для про­из­воль­но­го на­ту­раль­но­го N > 3.

Задание 0 № 505699


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.
8

а) Ску­пой ры­царь хра­нит зо­ло­тые мо­не­ты в шести сундуках. Однажды, пе­ре­счи­ты­вая их, он заметил, что если от­крыть любые два сундука, то можно раз­ло­жить ле­жа­щие в них мо­не­ты по­ров­ну в эти два сундука. Еще он заметил, что если от­крыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно пе­ре­ло­жить ле­жа­щие в них мо­не­ты таким образом, что во всех от­кры­тых сун­ду­ках ста­нет по­ров­ну монет. Тут ему по­чу­дил­ся стук в дверь, и ста­рый скря­га так и не узнал, можно ли раз­ло­жить все мо­не­ты по­ров­ну по всем шести сундукам. Можно ли, не за­гля­ды­вая в за­вет­ные сундуки, дать точ­ный ответ на этот вопрос?

б) А если сун­ду­ков было восемь, а cку­пой ры­царь мог раз­ло­жить по­ров­ну монеты, ле­жа­щие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?

Задание 0 № 505729


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.
9

За круг­лым сто­лом сидят 4 гнома. Перед каж­дым стоит круж­ка с молоком. Один из гно­мов пе­ре­ли­ва­ет ¼ сво­е­го мо­ло­ка со­се­ду справа. Затем сосед спра­ва де­ла­ет то же самое. Затем то же самое де­ла­ет сле­ду­ю­щий сосед спра­ва и на­ко­нец четвёртый гном ¼ ока­зав­ше­го­ся у него мо­ло­ка на­ли­ва­ет первому. Во всех круж­ках вме­сте мо­ло­ка 2 л.

Сколько мо­ло­ка было пер­во­на­чаль­но в кружках, если

а) в конце у всех гно­мов мо­ло­ка ока­за­лось поровну?

б) в конце у всех гно­мов ока­за­лось мо­ло­ка столько, сколь­ко было в начале?

Задание 0 № 505747


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 65.
10

Петин счет в банке со­дер­жит 500 долларов. Банк раз­ре­ша­ет со­вер­шать опе­ра­ции толь­ко двух видов: сни­мать 300 дол­ла­ров или до­бав­лять 198 долларов.

а) Какую мак­си­маль­ную сумму Петя может снять со счета, если дру­гих денег у него нет?

б) Какое наи­мень­шее число опе­ра­ций для этого потребуется?

Задание 0 № 505753


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 66.
11

Имеется семь ста­ка­нов с водой: пер­вый ста­кан за­пол­нен водой наполовину, второй — на треть, третий — на четверть, четвертый — на одну пятую, пятый — на одну восьмую, ше­стой — на одну девятую, и седь­мой — на одну десятую. Раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­ли­вать всю воду из од­но­го ста­ка­на в дру­гой или пе­ре­ли­вать воду из од­но­го ста­ка­на в дру­гой до тех пор, пока он не за­пол­нит­ся доверху. Может ли после не­сколь­ких пе­ре­ли­ва­ний какой‐нибудь ста­кан ока­зать­ся за­пол­нен­ным

а) на одну двенадцатую;

б) на одну шестую?

Задание 0 № 505765


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.
12

Компьютер может про­из­во­дить одну операцию: брать сред­нее ариф­ме­ти­че­ское двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, при­чем m и n не имеют общих де­ли­те­лей и m < n Докажите, что с по­мо­щью ком­пью­те­ра из них можно по­лу­чить

а) единицу;

б) любое целое число от 1 до n.

Задание 0 № 505777


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.
13

В Мек­си­ке эко­ло­ги до­би­лись при­ня­тия закона, по ко­то­ро­му каж­дый ав­то­мо­биль хотя бы один день в не­де­лю не дол­жен ез­дить (владелец со­об­ща­ет по­ли­ции номер ав­то­мо­би­ля и «выходной» день не­де­ли этого автомобиля). В не­ко­то­рой семье все взрос­лые же­ла­ют ез­дить еже­днев­но (каждый — по своим делам!). Сколь­ко ав­то­мо­би­лей (как минимум) долж­но быть в семье, если взрос­лых в ней

а) 5 человек?

б) 8 человек?

Задание 0 № 505801


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.
14

Два шах­ма­ти­ста иг­ра­ют между собой в шах­ма­ты с ча­са­ми (сделав ход, шах­ма­тист оста­нав­ли­ва­ет свои часы и пус­ка­ет часы другого). Известно, что после того, как оба сде­ла­ли по 40 ходов, часы обоих шах­ма­ти­стов по­ка­зы­ва­ли одно и то же время: 2 часа 30 мин.

а) Докажите, что в ходе пар­тии был момент, когда часы од­но­го об­го­ня­ли часы дру­го­го не менее, чем на 1 мин. 51 сек.

б) Можно ли утверждать, что в не­ко­то­рый мо­мент раз­ни­ца по­ка­за­ний часов была равна 2 мин.?

Задание 0 № 505831


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.
15

У Лены три набора, в каж­дом из ко­то­рых оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство ручек (больше 1). У Юли не­сколь­ко (больше 1) на­бо­ров ручек, по 5 штук в каждом.

а) При каком ко­ли­че­стве на­бо­ров у Юли, ко­ли­че­ство всех ручек у Лены нечетно, если всего у де­во­чек 105 ручек?

б) Можно ли раз­ло­жить все ручки Юли и Лены в 12 на­бо­ров по 12 ручек в каждом?

в) Можно ли раз­ло­жить все ручки Юли и Лены в k на­бо­ров по k ручек в каж­дом (k > 3)?

Задание 0 № 505869


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.
16

Лужков и Ба­ту­ри­на по­во­ра­чи­ва­ют с Руб­лев­ки на МКАД в раз­ные сто­ро­ны — Луж­ков — налево, Ба­ту­ри­на — направо. За сколь­ко минут каж­дый из них про­ез­жа­ет пол­ный круг по МКАД, если известно, что Луж­ков тра­тит на 12 минут мень­ше Батуриной, при этом про­ез­жая круг не быст­рее 31 минуты. Время про­ез­да од­но­го круга из­ме­ря­ет­ся целым чис­лом минут и их седь­мая встре­ча про­изо­шла снова на Рублёвке.

Задание 0 № 505893


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.
17

Инспектор ДПС майор Ху­да­ков по­лу­чил ука­за­ние на­чаль­ства оста­нав­ли­вать те автомобили, трех­знач­ный гос­но­мер ко­то­рых n удо­вле­тво­ря­ет сле­ду­ю­щим требованиям: если вы­пи­сать все целые числа от 1 до n и по­счи­тать ко­ли­че­ство за­пи­сан­ных цифр, то по­лу­чит­ся число, за­пи­сан­ное теми же цифрами, что и n, но в об­рат­ном порядке. Сна­ча­ла майор по­про­бо­вал вы­пол­нять тре­бу­е­мые вы­чис­ле­ния для каж­до­го ав­то­мо­би­ля в ре­жи­ме ре­аль­но­го вре­ме­ни мелом на асфальте, но мел скоро закончился. По­мо­ги­те май­о­ру опре­де­лить но­ме­ра нуж­ных автомобилей.

Задание 0 № 505899


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.
18

Губернатор Тить­кин решил ор­га­ни­зо­вать ав­то­бус­ное дви­же­ние между де­рев­ня­ми Верх­нее и Ниж­нее Гадюкино. Автобусы‐экспрессы будут сле­до­вать из Ниж­не­го Га­дю­ки­но в Верх­нее без оста­но­вок круг­ло­су­точ­но с ин­тер­ва­лом ровно 7 минут, оста­нав­ли­вать­ся в ко­неч­ном пунк­те на какое‐то время и от­прав­лять­ся обратно, тратя на до­ро­гу в одну сто­ро­ну ровно 25 минут. При этом на ко­неч­ных оста­нов­ках не долж­но на­хо­дить­ся более од­но­го ав­то­бу­са одновременно. Сколь­ко ав­то­бу­сов по­тре­бу­ет­ся ку­пить губернатору?

Задание 0 № 505905


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.
19

В школь­ной олим­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке участ­во­ва­ло 100 человек, по фи­зи­ке — 50 человек, по информатике — 48 человек. Когда каж­до­го из уче­ни­ков спросили, в сколь­ких олим­пи­а­дах он участвовал, ответ «по край­ней мере в двух» дали в два раза мень­ше человек, чем ответ «не менее, чем в одной», а ответ «в трех» — втрое мень­ше человек, чем ответ «не менее, чем в одной». Сколь­ко всего уче­ни­ков при­ня­ло уча­стие в этих олимпиадах?

Задание 0 № 505935


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.
20

а) На по­сто­я­лом дворе оста­но­вил­ся путешественник, и хо­зя­ин со­гла­сил­ся в ка­че­стве упла­ты за про­жи­ва­ние брать коль­ца зо­ло­той цепочки, ко­то­рую тот носил на руке. Но при этом он по­ста­вил условие, чтобы опла­та была ежедневной: каж­дый день хо­зя­ин дол­жен был иметь на одно коль­цо больше, чем в предыдущий. За­мкну­тая в коль­цо це­поч­ка со­дер­жа­ла 11 колец, а пу­те­ше­ствен­ник со­би­рал­ся про­жить ровно 11 дней, по­это­му он согласился. Какое наи­мень­шее число колец он дол­жен распилить, чтобы иметь воз­мож­ность пла­тить хозяину?

б) Из сколь­ких колец долж­на со­сто­ять цепочка, чтобы пу­те­ше­ствен­ник мог про­жить на по­сто­я­лом дворе наи­боль­шее число дней при условии, что он может рас­пи­лить толь­ко n колец?

Задание 0 № 505947


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.
21

Требуется сде­лать набор гирек, каж­дая из ко­то­рых весит целое число граммов, с по­мо­щью ко­то­рых можно взве­сить любой целый вес от 1 грам­ма до 55 грам­мов вклю­чи­тель­но даже в том случае, если не­ко­то­рые гирь­ки по­те­ря­ны (гирьки кла­дут­ся на одну чашку весов, из­ме­ря­е­мый вес — на другую).

а) не­об­хо­ди­мо по­до­брать 10 гирек, из ко­то­рых может быть по­те­ря­на любая одна;

б) не­об­хо­ди­мо по­до­брать 12 гирек, из ко­то­рых могут быть по­те­ря­ны любые две. (В обоих слу­ча­ях докажите, что най­ден­ный Вами набор гирек об­ла­да­ет тре­бу­е­мы­ми свойствами.)

Задание 0 № 505953


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.
22

Автобусные би­ле­ты имеют но­ме­ра от 000000 до 999999. Билет на­зы­ва­ет­ся счастливым, если сумма пер­вых трех цифр его но­ме­ра равна сумме по­след­них трех его цифр. Докажите, что:

а) число всех счаст­ли­вых би­ле­тов четно;

б) сумма но­ме­ров всех счаст­ли­вых би­ле­тов де­лит­ся на 999.

Задание 0 № 505983


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.
23

Скажем, что ко­ло­да из 52 карт сло­же­на правильно, если любая пара ле­жа­щих рядом карт сов­па­да­ет по масти или по достоинству, то же верно для верх­ней и ниж­ней карты, и на­вер­ху лежит туз пик. Докажите, что число спо­со­бов сло­жить ко­ло­ду правильно

а) де­лит­ся на 12!;

б) де­лит­ся на 13!.

Задание 0 № 505989


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 24.
24

Группа пси­хо­ло­гов раз­ра­бо­та­ла тест, прой­дя который, каж­дый че­ло­век по­лу­ча­ет оцен­ку — число Q — по­ка­за­тель его ум­ствен­ных спо­соб­но­стей (чем боль­ше Q, тем боль­ше способности). За рей­тинг стра­ны при­ни­ма­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское зна­че­ний Q всех жи­те­лей страны.

а) Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B. Мог ли при этом у обеих стран вы­рас­ти рейтинг?

б) После этого груп­па граж­дан стра­ны B (в числе ко­то­рых могут быть и быв­шие эми­гран­ты из A) эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну A. Воз­мож­но ли, что рей­тин­ги обеих стран опять выросли?

в) Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B, а груп­па граж­дан B — в стра­ну C. В ре­зуль­та­те рей­тин­ги каж­дой стра­ны ока­за­лись выше первоначальных. После этого на­прав­ле­ние ми­гра­ци­он­ных по­то­ков из­ме­ни­лось на про­ти­во­по­лож­ное – часть жи­те­лей C пе­ре­еха­ла в B, а часть жи­те­лей B – в A. Оказалось, что в ре­зуль­та­те рей­тин­ги всех стран опять вы­рос­ли (по срав­не­нию с теми, что были после пер­во­го переезда, но до на­ча­ла второго). Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)? Предполагается, что за рас­смат­ри­ва­е­мое время Q граж­дан не изменилось, никто не умер и не родился.

Задание 0 № 505995


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.
25

В школе, где учат­ся Поля, Маня и Дуня, есть длин­ный ко­ри­дор вдоль одной из стен ко­то­ро­го рас­по­ло­жен длин­ный ряд из n ячеек, за­ну­ме­ро­ван­ных на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до n, за­кры­ва­ю­щих­ся на замки, в ко­то­рых школь­ни­ки могут хра­нить свои лич­ные вещи. Однажды, придя в школу в вы­ход­ной день, Поля об­на­ру­жи­ла все ячей­ки открытыми. Она стала об­хо­дить ряд ячеек сна­ча­ла до конца, за­кры­вая на замок каж­дую вто­рую ячейку. До­стиг­нув конца ряда, она раз­вер­ну­лась и снова стала за­кры­вать на замок каж­дую вто­рую ячей­ку из тех, ко­то­рые еще были открыты. Таким об­ра­зом Поля про­дол­жа­ла об­хо­дить ряд и за­кры­вать на замок ячей­ки до тех пор, пока оста­лась не­за­кры­той одна ячейка.

Обозначим номер по­след­ней от­кры­той ячейки. Например, если ко­ли­че­ство ячеек то как по­ка­за­но на рисунке

 

123456789101112131415
123456789101112131415
13579111315
371115
311

 

а) Най­ди­те

Докажите, что:

б) не су­ще­ству­ет на­ту­раль­но­го числа та­ко­го что

в) су­ще­ству­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел таких что

Задание 0 № 506001


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.
26

Дайте обос­но­ван­ные от­ве­ты на сле­ду­ю­щие вопросы.

а) В мешке на­хо­дят­ся 1 желтый, 1 зе­ле­ный и 2 крас­ных шара. Из мешка слу­чай­ным об­ра­зом вы­ни­ма­ют 2 шара раз­но­го цвета и за­ме­ня­ют одним шаром тре­тье­го цвета. Этот про­цесс про­дол­жа­ют до тех пор, пока все остав­ши­е­ся шары в мешке не ока­жут­ся од­но­го цвета (возможно, что при этом в мешке оста­нет­ся один шар) Ка­ко­го цвета шары (или шар) могут остать­ся в мешке?

б) В мешке 3 желтых, 4 зе­ле­ных и 5 крас­ных шаров. Ка­ко­го цвета шары (или шар) могут остать­ся в мешке в конце после при­ме­не­ния опи­сан­ной в преды­ду­щем пунк­те процедуры?

в) В мешке на­хо­дят­ся 3 желтых, 4 зе­ле­ных и 5 крас­ных шаров. Из мешка слу­чай­ным об­ра­зом вы­ни­ма­ют 2 шара раз­но­го цвета и за­ме­ня­ют двумя ша­ра­ми тре­тье­го цвета. Можно ли, при­ме­няя эту про­це­ду­ру многократно, до­бить­ся того, чтобы в мешке ока­за­лись шары од­но­го цвета? Если можно, то ка­ко­го цвета эти шары?

Задание 0 № 506007


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 27.
27

У Кости была кучка из 100 камешков. Каж­дым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него не ока­за­лось 100 кучек по од­но­му камешку.

а) воз­мож­но ли, что в какой-то мо­мент в каких-то 30 куч­ках было ровно 60 камешков;

б) воз­мож­но ли, что в какой-то мо­мент в каких-то 20 куч­ках было в сумме ровно 60 камешков;

в) мог ли Костя дей­ство­вать так, чтобы ни в какой мо­мент не на­шлось 19 кучек, в ко­то­рых в сумме ровно 60 камешков?

Задание 0 № 506013


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.
28

Рассматривается набор гирь, каж­дая из ко­то­рых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор на­зы­ва­ет­ся правильным, если любое тело, име­ю­щее вес, вы­ра­жен­ный целым чис­лом грам­мов от 1 до 500, может быть урав­но­ве­ше­но не­ко­то­рым ко­ли­че­ством гирь набора, и при­том един­ствен­ным об­ра­зом (тело кла­дет­ся на одну чашу весов, гири – на другую; два спо­со­ба уравновешивания, раз­ли­ча­ю­щи­е­ся лишь за­ме­ной не­ко­то­рых гирь на дру­гие того же веса, счи­та­ют­ся одинаковыми).

а) При­ве­ди­те при­мер пра­виль­но­го набора, в ко­то­ром не все гири по од­но­му грамму.

б) Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных пра­виль­ных наборов?

(Два на­бо­ра различны, если не­ко­то­рая гиря участ­ву­ет в этих на­бо­рах не оди­на­ко­вое число раз.)

Задание 0 № 506025


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.
29

а) В клас­се была дана контрольная. Известно, что по край­ней мере две трети задач этой кон­троль­ной ока­за­лись трудными: каж­дую такую за­да­чу не ре­ши­ли по край­ней мере две трети школьников. Из­вест­но также, что по край­ней мере две трети школь­ни­ков клас­са на­пи­са­ли кон­троль­ную хорошо: каж­дый такой школь­ник решил по край­ней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?

б) Из­ме­нит­ся ли ответ в этой задаче, если за­ме­нить везде в ее усло­вии две трети на три четверти?

в) Из­ме­нит­ся ли ответ в этой задаче, если за­ме­нить везде в ее усло­вии две трети на семь девятых?

Задание 0 № 506031


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 31.
30

Банкомат об­ме­ни­ва­ет монеты: дуб­ло­ны на пи­сто­ли и наоборот. Пи­столь стоит s дублонов, а дуб­лон — 1/s пистолей, где s — не обя­за­тель­но целое. В бан­ко­мат можно вбро­сить любое число монет од­но­го вида, после чего он вы­да­ет в обмен мо­не­ты дру­го­го вида, округ­ляя ре­зуль­тат до бли­жай­ше­го це­ло­го числа (если бли­жай­ших чисел два, вы­би­ра­ет­ся большее).

а) Может ли так быть, что об­ме­няв сколько-то дуб­ло­нов на пистоли, а затем об­ме­няв по­лу­чен­ные пи­сто­ли на дублоны, мы по­лу­чим боль­ше дублонов, чем было в начале?

б) Если да, то может ли случится, что по­лу­чен­ное число дуб­ло­нов еще увеличится, если про­де­лать с ними такую же операцию?

Задание 0 № 506037


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.
31

Геологи взяли в экс­пе­ди­цию 80 банок консервов, веса ко­то­рых все из­вест­ны и раз­лич­ны (имеется список). Через не­ко­то­рое время над­пи­си на бан­ках стали нечитаемыми, и толь­ко зав­хоз знает где что. Он может все это до­ка­зать (т. е. обосновать, что в какой банке находится), не вскры­вая кон­сер­вов и поль­зу­ясь толь­ко со­хра­нив­шим­ся спис­ком и двух­ча­шеч­ны­ми ве­са­ми со стрелкой, по­ка­зы­ва­ю­щей раз­ни­цу весов на чашках. Докажите, что ему для этой цели

а) до­ста­точ­но че­ты­рех взвешиваний;

б) не­до­ста­точ­но трех взвешиваний.

Комментарий. От­ме­тим еще раз, что зав­хоз дол­жен обосновать, что в какой банке на­хо­дит­ся для всех 80 банок.

Задание 0 № 506043


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.
32

Среди любых де­ся­ти из ше­сти­де­ся­ти школь­ни­ков най­дет­ся три одноклассника. Обя­за­тель­но ли среди всех ше­сти­де­ся­ти школь­ни­ков найдется

а) 15 одноклассников;

б) 16 одноклассников?

Задание 0 № 506049


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.
33

Тридцать три бо­га­ты­ря на­ня­лись охра­нять Лу­ко­мо­рье за 240 монет. Хит­рый дядь­ка Чер­но­мор может раз­де­лить бо­га­ты­рей на от­ря­ды про­из­воль­ной чис­лен­но­сти (или за­пи­сать всех в один отряд), а затем рас­пре­де­лить все жа­ло­ва­ние между отрядами. Каж­дый отряд делит свои мо­не­ты поровну, а оста­ток от­да­ет Черномору. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет может до­стать­ся Черномору, если:

а) жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет как ему угодно;

б) жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет поровну?

Задание 0 № 506055


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.
34

На шести елках сидят шесть сорок — по одной на каж­дой елке. Елки рас­тут с ин­тер­ва­лом в 10 м. Если какая-то со­ро­ка пе­ре­ле­та­ет с одной елки на другую, то какая-нибудь, дру­гая со­ро­ка обя­за­тель­но пе­ре­ле­та­ет на столь­ко же метров, но в об­рат­ном направлении.

а) Могут ли все со­ро­ки со­брать­ся на одной елке?

б) А если сорок и елок семь?

в) А если елки стоят по кругу?

Задание 0 № 506067


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.
35

Имеются ка­мен­ные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 60 грузовиках, гру­зо­подъ­ем­но­стью 5 тонн каждый, предполагая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы поместятся?

б) Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 38 грузовиках, гру­зо­подъ­ем­но­стью 5 тонн каждый, предполагая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы поместятся?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство грузовиков, гру­зо­подъ­ем­но­стью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вы­вез­ти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы поместятся?

Задание 0 № 506073


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.
36

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что полученные суммы образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

а) Могло ли быть 7 кучек?

б) Могло ли быть 9 кучек?

в) Какое наибольшее количество кучек могло быть?

Задание 0 № 514573


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.
37

На проекте «Мисс Чмаровка−2016» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. При этом каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Изольды Кабановой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое четырёх оставшихся оценок.

а) Могут ли итоговые баллы, вычисленные по старой и новой системам оценивания, оказаться одинаковыми?

б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, оказаться равной 

в) Найдите наибольшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Задание 0 № 514594


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!