СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Каталог заданий.
Круглые тела

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д7 C2 № 505593

Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус, параллельна плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.

2
Задания Д7 C2 № 505623

В треугольной пирамиде SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N проведена плоскость, параллельная медиане AD основания ABC. Найти отношение объема треугольной пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной плоскостью, к объему пирамиды SABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

3
Задания Д7 C2 № 505641

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно единице.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.

4
Задания Д7 C2 № 505653

В усеченный конус, образующая которого наклонена под углом 45 градусов к нижнему основанию, вписан шар. Найти отношение величины боковой поверхности усеченного конуса к величине поверхности шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.

5
Задания Д7 C2 № 505665

На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B1, к объему всего куба.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.

6
Задания Д7 C2 № 505671

Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.

7
Задания Д7 C2 № 505707

В пирамиде SABC ребра SC, и AC равны соответственно 3 и 4. Известно, что угол ABC тупой, ребро SC перпендикулярно к плоскости основания ABC, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, точку пересечения медиан треугольника ABC и центр окружности, вписанной в этот треугольник.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.

8
Задания Д7 C2 № 505731

Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а длины сторон основания ABC равны Точки M и N — середины отрезков АС и AB. Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду SАMN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.

9
Задания Д7 C2 № 505755

В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

10
Задания Д7 C2 № 505761

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8, 9. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите высоту пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.

11
Задания Д7 C2 № 505767

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка K так, что SK : KD = 1 : 2. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны 30 градусов, а расстояние от точки K до бокового ребра равно Найти объём пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.

12
Задания Д7 C2 № 505779

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна Через прямую AB проведено сечение перпендикулярное ребру SC, площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

13
Задания Д7 C2 № 505785

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона равна Точка K — середина ребра SC. Через прямую AK проведено сечение, параллельное одной из диагоналей основания, площадь которого равна 60. Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.

14
Задания Д7 C2 № 505791

В правильном тетраэдре ABCD точки K и N середины рёбер AB и AD соответственно. Прямая DO перпендикулярна плоскости ABC. Расстояние между прямыми KN и DO равно 3. Найти площадь сечения тетраэдра проходящего через середины трёх смежных рёбер.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

15
Задания Д7 C2 № 505797

Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 описана около шара радиуса 1. Пусть M — середина ребра BB1 и N —  середина ребра СС1. В шар вписан прямой круговой цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN. Найдите объём этого цилиндра.


Аналоги к заданию № 505797: 509176 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.

16
Задания Д7 C2 № 505821

Дана треугольная призма ABCA1B1C1 (AA1 || BB1 || CC1). На ребре CC1 выбрана точка D. Сечение, проходящее через точки A, B1 и D, делит призму на два многогранника ABCDB1 и B1AA1C1D, отношение объёмов которых равно 13 : 17. В каком отношении точка D делит ребро CC1?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

17
Задания Д7 C2 № 505889

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите расстояние между прямыми AD1 и A1C1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.

18
Задания Д7 C2 № 505901

Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD. Через сторону AB и середину K бокового ребра проведена плоскость. Найти отношение объемов получившихся частей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.

19
Задания Д7 C2 № 505997

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AC = 6, AA1 = 8. Через вершину A проведена плоскость, пересекающая ребра BB1 и CC1 соответственно в точках M и N. Найти, в каком отношении эта плоскость делит объем призмы, если известно, что BM = MB1, а AN является биссектрисой угла CAC1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.

20
Задания Д7 C2 № 506015

В треугольной пирамиде ABCD плоские углы BAC, BAD и CAD при вершине A равны и соответственно. Определить угол между гранями BAD и CAD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

21
Задания Д7 C2 № 506021

Через середину диагонали куба проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали. Найти отношение площади сечения куба данной плоскостью к площади полной поверхности куба.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.

22
Задания Д7 C2 № 506045

Сечение SAB, проходящее через вершину S прямого кругового конуса, имеет площадь 60. Точки A и B, лежащие на окружности основания конуса, делят ее длину в отношении 1 : 5. Найти объем конуса, если угол SAB равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.

23
Задания Д7 C2 № 506051

В прямом кругом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда , равная перпендикулярна диаметру Найти площадь сечения цилиндра плоскостью если образующая цилиндра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.
Решение · ·

24
Задания Д7 C2 № 506057

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB = 10. Найдите расстояние между прямой CC1 и прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой CM1, где M1 — середина стороны A1B1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

25
Задания Д7 C2 № 506063

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной стороной основания равной 6 и боковым ребром 5, проведена плоскость через середины ребер и В пирамиду вписан шар. Найти площадь сечения шара плоскостью

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.

26
Задания Д7 C2 № 506069

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечения шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.

27
Задания Д7 C2 № 508087

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;

б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

28
Задания Д7 C2 № 508143

На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость p, проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.

а) Постройте плоскость p.

б) Найдите радиус шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.

29
Задания Д7 C2 № 509167

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.


30
Задания Д7 C2 № 509168

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности и три из них — основания конуса.


31
Задания Д7 C2 № 509169

Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.


32
Задания Д7 C2 № 509170

Внутри правильного тетраэдра с ребром a‍ расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.


33
Задания Д7 C2 № 509171

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b,‍ а плоский угол при вершине равен α.‍ Найдите радиус сферы описанной около пирамиды.


34
Задания Д7 C2 № 509172

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.‍ Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60‍°.‍ Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.


35
Задания Д7 C2 № 509173

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.‍ Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60‍°.‍ Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.


36
Задания Д7 C2 № 509174

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a.‍ Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45‍°.‍ Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.


37
Задания Д7 C2 № 509175

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды пирамиды равны a.‍ Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.


38
Задания Д7 C2 № 509176

Правильная треугольная призма ABCA‍1B‍1C‍1‍ описана около шара радиуса R.‍ Точки M‍ и N —‍ середины рёбер BB‍1‍ и CC‍1.‍ В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN.‍ Найдите объём цилиндра


39
Задания Д7 C2 № 511160

Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.

40
Задания Д7 C2 № 511266

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B1, B, C1 составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми AB1 и BC1, если известно, что AB = 2, AA1 = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

41
Задания Д7 C2 № 511273

Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямые.

а) Докажите, что точка S, точка пересечения медиан треугольника ABC и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

42
Задания Д7 C2 № 511280

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 18. Высота призмы равна Точка N делит ребро A1C1 в отношении 1 : 2, считая, от точки A1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

43
Задания Д7 C2 № 511830

Основанием пирамиды PABC является правильный треугольник ABC со стороной 6. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

44
Задания Д7 C2 № 511837

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором CB = CA = 5, BA = 6. Высота призмы равна 10. Точка M — середина ребра AA1.

А) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MBC1 и ABC.

Б) Вычислите угол между плоскостями MBC1 и ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

45
Задания Д7 C2 № 511891

Через вершину В1 куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость Ω, перпендикулярная прямой ВD1.

А) Докажите, что плоскость Ω делит отрезок ВD1 в отношении 2 : 1, считая от вершины D1.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые разбивает куб плоскость Ω.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

46
Задания Д7 C2 № 512424

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

47
Задания Д7 C2 № 512431

Все ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны

а) Построить сечение призмы плоскостью AFC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

48
Задания Д7 C2 № 512438

Все ребра куба равны

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

49
Задания Д7 C2 № 512445

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 4.

а) Постройте сечение призмы, проходящее через середины ребер BC, CC1, A1C1.

б) Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

50
Задания Д7 C2 № 512452

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.

а) Докажите, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плоскости.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках B, C1, D и A1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

51
Задания Д7 C2 № 512459

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17.

а) Докажите, что прямые AB и SC перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки А, В и середину высоты пирамиды, проведенной из вершины S.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

52
Задания Д7 C2 № 512466

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар. 

а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара. 

б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

53
Задания Д7 C2 № 505611

В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка K, на ребре AC — точка L, на ребре BD — точка N, на ребре СD — точка M. Точки E и G есть середины ребер AD и BC соответственно. Прямые EG, KM и LN пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN, если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скрещивающимися прямыми AD и BC равен 45°.


54
Задания Д7 C2 № 505635

В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.


55
Задания Д7 C2 № 505647

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Середина D гипотенузы AB этого треугольника является основаниет высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD = 2, AC = 4, BC = 3. Через середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.

56
Задания Д7 C2 № 505695

У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM, а его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве Тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B = 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.


57
Задания Д7 C2 № 505713

Шар, радиус которого равен 2, вписан в правильную четырехугольную пирамиду SABCD с вершиной S. Второй шар радиуса 1 касается первого шара, основания пирамиды и боковых граней BSC и CSD. Найдите объем пирамиды.


58
Задания Д7 C2 № 505743

В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся рёбер равны 12 и 4, а остальные рёбра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.


59
Задания Д7 C2 № 505749

В пирамиде SLMN даны рёбра LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса касается плоскости основания LMN и боковых рёбер пирамиды. Точки касания делят эти рёбра в равных отношениях, считая от вершины S. Найти объём пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 66.

60
Задания Д7 C2 № 505803

Боковые рёбра правильной треугольной пирамиды SABC наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Шар касается плоскости основания ABC в точке A и, кроме того, касается вписанного в пирамиду шара. Через центр первого шара и высоту BD основания проведена плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания.


61
Задания Д7 C2 № 505809

Основанием пирамиды является ромб со стороной 2, а его острый угол равен 45 градусов. Шар, радиус которого равен , касается плоскостей каждой боковой грани пирамиды в точке, лежащей на тороне основания пирамиды. Найти объём пирамиды.


62
Задания Д7 C2 № 505815

Сторона DC прямоугольника ABCD служит высотой конуса с вершиной D, DC = 2. Радиус основания этого конуса в два раза длиннее отрезка BC. Шар касается плоскости прямоугольника ABCD в точке A и имеет единственную общую точку с конусом. Найдите радиус шара.


63
Задания Д7 C2 № 505973

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S боковая сторона равна а сторона основания Точки M и K — середины ребер AD и AB соответственно. Точка E лежит на ребре SC. Угол между плоскостью MKE и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти площадь сечения, проходящего через точки M, K и E.


64
Задания Д7 C2 № 505985

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S и боковым ребром точки M и K — середины ребер SF и SC соответственно. Найти длину стороны основания, если угол между плоскостями AEK и BDM равен


65
Задания Д7 C2 № 506003

В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка M, делящая отрезок SB в отношении 3 : 5, считая от вершины S. Через точки A и M параллельно медиане BD треугольника ABC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?


66
Задания Д7 C2 № 506027

Через середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если длина бокового ребра равна 4, а угол между боковыми ребрами, лежащими в одной грани, равен 60°.


67
Задания Д7 C2 № 508108

Известно, что AB, AC, AD, DE, DF — рёбра куба. Через вершины E, F и середины рёбер AB и AC проведена плоскость P, делящая шар, вписанный в куб, на две части.

а) Постройте плоскость P.

б) Найдите отношение объёма меньшей части шара к объёму всего шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.

68
Задания Д7 C2 № 508155

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 6, косинус угла между прямыми ВD1 и АС равен

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А и С параллельно прямой ВD1.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость.


69
Задания Д7 C2 № 508594

В прямоугольном параллелепипеде ABCD1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 6, косинус угла между прямыми ВD и AC1 равен 0,14.

А) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В и D параллельно прямой AC1.

Б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.


70
Задания Д7 C2 № 508601

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6, а высота 4. Точки KPM — середины ребер ABBC, SD.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки KMP.

б) Найдите площадь этого сечения.


71
Задания Д7 C2 № 508646

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой α, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45°.

а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую α.

б) Найдите радиус меньшей сферы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.

72
Задания Д7 C2 № 508754

В кубе АВСDA1B1C1D1 с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре АА1 и на горизонтальном ребре АВ взяты точки M и N соответственно, причем

а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки М и N параллельно диагонали АС нижнего основания куба.

б) Найти площадь этого сечения.


73
Задания Д7 C2 № 508937

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты, опущенной из вершины S на основание ABCD, равна Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой АВ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь сечения, если АВ =


74
Задания Д7 C2 № 513785

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD, у которой AD||BC. На ребре SC выбрана точка K так, что CK : KS = 2 : 5. Плоскость, проходящая через точки А, В и K, пересекает ребро SD в точке L. Известно, что объемы пирамид SABKL и SABCD относятся, как 95 : 189.  

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью ABK

б) Найдите отношение длин оснований трапеции ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.

75
Задания Д7 C2 № 514052

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = АС). Точка K — середина ребра B1C1

а) Докажите, что прямая AB1 параллельна плоскости CKA1

б) Найдите расстояние от прямой AB1 до плоскости CKA1, если известно, что CB = 6, CA = 5, CC1 = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.

76
Задания Д7 C2 № 514589

AB — диаметр нижнего основания цилиндра, а CD — хорда верхнего основания цилиндра, причём CD || AB.

а) Докажите, что отрезки AC и BD равны.

б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, D, а вершиной — центр верхнего основания цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна 9, AB = 26, CD = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

77
Задания Д7 C2 № 514866

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка M так, что SM :  = 7 : 18.

а) Докажите, что плоскости SBC и ABM перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость ABM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 161.

78
Задания Д7 C2 № 514873

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = AA1 = 6, BC = 4. Точка P — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1D = 2 : 3. 

а) Докажите, что прямая ВD1 параллельна плоскости MPC.  

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 162.

79
Задания Д7 C2 № 514880

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки BD1F1 проведена плоскость α.

а) Докажите,  что  плоскость  α пересекает  ребро  CC1 в такой точке М, что MC : MC1 = 1 : 2.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит плоскость α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 163.

80
Задания Д7 C2 № 514887

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб с диагоналями АС = 8 и ВD = 6. Боковое  ребро BB1 равно 12. На  ребре BB1 отмечена точка M так, что BM : B1M = 1 : 7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD1

б) Найдите объем пирамиды MACD1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 164.

81
Задания Д7 C2 № 515106

В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М  так, что МА : МР = 9 : 16. 

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.  

б) Найдите объем пирамиды МАВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 165.

82
Задания Д7 C2 № 515113

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре DD1 так,  что DM : D1M = 1 : 2. Плоскость, проходящая через точки  А и М параллельно ВD1, пересекает ребро СD в точке Р.  

а) Докажите, что СР = DP

б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости АМР, если известно, что АВ = 12, ВС = 9, АА1 = 36.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 166.

83
Задания Д7 C2 № 515121

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. O — точка пересечения А1и AD1.

а) Докажите, что плоскости OB1C1 и СЕЕ1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми B1C1 и СЕ1, если известно, что АВ = 1, АА1 = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 167.

84
Задания Д7 C2 № 515128

Дана  правильная  шестиугольная  призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. На ребре AA1 отмечена точка M так, что А1М : АМ = 1 : 3. Через точки М и В1 параллельно АD1 проведена плоскость Ω. 

а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F1.  

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости Ω, если  АВ = 2, АА1 = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 168.

85
Задания Д7 C2 № 515135

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая B1C1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей ABC1 и АСВ1

Б) Найдите угол между плоскостями ABC1 и ACB1, если известно, что AB = 2, AA1 = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 169.

86
Задания Д7 C2 № 515202

В правильной пирамиде PABC точки  ЕFKMN — середины ребер АСВСРАРВ и РС соответственно. 

А) Докажите,  что  объем  пирамиды  NEFMK  составляет  четверть  объема  пирамиды PABC

Б) Найдите  радиус  сферы,  проходящей  через  точки NЕFMK, если  известно, что АВ = 8, АР = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 170.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.1.1 Целые числа

87
Задания Д7 C2 № 515209

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ : С1М = 1 : 3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.  

А) Докажите, что ВК : В1К = 1 : 5. 

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ = 3, СС1 = 8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 171.

88
Задания Д7 C2 № 521072

Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.

а) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны 

б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так 

же  одного  из  оснований  цилиндра,  если  известно,  что  объем  конуса  равен 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 172.

89
Задания Д7 C2 № 521079

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями BC и АD. Точка К — середина ребра . Плоскость α проходит через середины ребер AB и параллельно прямой .

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость , если известно, что .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 173.

90
Задания Д7 C2 № 521086

РH – высота правильной четырехугольной пирамиды РАВСD, О – точка пересечения медиан треугольника ВСР.

а) Докажите, что прямые РН и АО не имеют общих точек.

б) Найдите угол между прямыми  РН и  АО, если известно, что  .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 174.

91
Задания Д7 C2 № 521103

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом β к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что

а) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 176.

92
Задания Д7 C2 № 521111

В прямоугольном параллелепипеде точка K лежит на ребре так, что Плоскость α, проходящая через точки K и параллельно прямой , пересекает ребро в точке Р.

а) Докажите, что .

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка , если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 177.

93
Задания Д7 C2 № 521118

В пирамиде SАВС угол АSВ равен 60°, а углы ВSС и СSА — по 45°.  

а) Докажите, что плоскости ВSС и АSС перпендикулярны.  

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 178.

94
Задания Д7 C2 № 521132

В правильной треугольной пирамиде РABC (Р — вершина) точка М лежит на ребре РС так, что . Точка K лежит на прямой АВ так, что . Точка В находится между точками A и K.

а) Докажите, что прямые АM и СK перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды АМСК, если известно, что АВ = 2, АР = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 179.

95
Задания Д7 C2 № 521139

В основании пирамиды PABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АС = 6 и ВС = 8. Прямая РС перпендикулярна плоскости АВС. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК : ВК = 9 : 16.

а) Докажите, что прямые РК и АВ перпендикулярны.

б) Найдите отношение радиусов сфер, вписанных в пирамиды РАСК и РВСК, если известно, что РС = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 180.

96
Задания Д7 C2 № 521146

В правильной пирамиде SABC ребра AB = 2, SC = 3. Через среднюю линию MN треугольника АВС, параллельную AB, проведено сечение минимальной площади пирамиды SABC, пересекающее ребро SC.

а) Докажите, что это сечение перпендикулярно ребру SC.

б) Найдите площадь этого сечения

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 181.

97
Задания Д7 C2 № 521160

а) Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину, у которого радиус основания равен 6, а образующая — 8.

б) Образующая конуса равна 8, а радиус основания R. Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину в зависимостиот R

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 182.

98
Задания Д7 C2 № 521167

В правильной треугольной пирамиде SABC ребро основания AB равно 2, а боковое ребро АS равно 5. Через точки S, A и середину стороны BC — точку К проведено сечение. Найти:

а) Площадь сечения.

б) Косинус угла между сечением и плоскостью ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 183.

99
Задания Д7 C2 № 521175

В правильной треугольной пирамиде SABC, точки P, Q, R лежат на боковых ребрах AS, CS и BS, причем

а) Доказать, что объемы пирамид SPRQ и SABC относятся как 4 : 27.

б) Найти объем пирамиды CPQR, если AB  =  2 и SA  =  3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 184.

100
Задания Д7 C2 № 521182

В правильной треугольной пирамиде SABC через вершину C нижнего основания проведено сечение, параллельное АВ. Сечение пересекает AS в точке M и SB в точке N. Прямая MN равноудалена от прямой SC и плоскости АВС. Точка K — середина AB .

а) Доказать, что биссектриса CL треугольника KSC принадлежит плоскости сечения.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения делит пирамиду, если АС = 1 и AS = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 185.

101
Задания Д7 C2 № 521189

В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.

а) Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.

б) Найти наибольший объем вписанного цилиндра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 186.

102
Задания Д7 C2 № 521196

В прямой треугольной призме АВСА’B’C’, где проведено сечение СМN параллельно ребру АВ, которое делит объем призмы пополам (точка М лежит на АА', N — на ВВ’).

а) Найти отношение АМ : МА’.

б) Найти тангенс угла между плоскостями АВС и СMN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 187.

103
Задания Д7 C2 № 521204

Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, сторона нижнего основания которой в 2 раза больше стороны верхнего основания. Найдите:

а) Площадь боковой грани пирамиды;

б) Минимально возможную площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через диагональ нижнего основания и пересекает верхнее основание пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 188.

104
Задания Д7 C2 № 521211

В четырехугольной пирамиде SABCD (четырехугольник в основании выпуклый) боковые ребра SA, SB и SC попарно перпендикулярны и имеют длину 3. Длина SD равна 9. Найдите

а) угол наклона ребра SD к плоскости основания.

б) наибольшее возможное при этих условиях значение объема пирамиды SABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 189.

105
Задания Д7 C2 № 521218

В правильной треугольной пирамиде SABC точки M, N и K — середины ребер основания, а P, Q и R делят боковые ребра SA, SB и SC в отношении 1 : 2, считая от вершины.

а) Доказать, что точки M, N, K, P, Q, R — лежат на одной сфере.

б) При каких углах наклона бокового ребра к основанию центр сферы лежит вне пирамиды SABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 190.

106
Задания Д7 C2 № 521225

Дана правильная шестиугольная призма

а) Докажите, что прямые СF и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми СF и , если .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 191.

107
Задания Д7 C2 № 521233

На продолжении высоты правильной четырехугольной пирамиды РАВСD отмечена точка К так, что ОР = ОК.

а) Докажите, что плоскости РВС и КАD параллельны.

б) Найдите расстояние между плоскостями РВС и КАD, если .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 192.

108
Задания Д7 C2 № 521243

В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция АВСD с основаниями АD = 30, ВС = 12 и боковой стороной АВ = 15. Через точки и С проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β делит объем призмы в отношении 2 : 5.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке А, основанием которой является сечение призмы плоскостью β, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 193.

109
Задания Д7 C2 № 521250

В правильной четырехугольной призме  АВ = ВС = 8, Через точки А и С перпендикулярно проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω пересекает ребро  в такой точке М, что 

б) Найдите угол между плоскостями  Ω  и  .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 194.

110
Задания Д7 C2 № 521257

Дан куб .

а) Докажите, что плоскость делит диагональ куба в отношении 1 : 2.

Б) Найдите объем пирамиды , если известно, что ребро куба равно 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 195.

111
Задания Д7 C2 № 521264

В основании пирамиды РАВС лежит равнобедренный треугольник АВС (АС = ВС). Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка К — середина АВ. В эту пирамиду вписана сфера.

а) Докажите, что точка касания сферы с гранью АРВ лежит на прямой РК.

б) Найдите радиус сферы, если известно, что АВ = 6, ВС = 5, КР = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 196.

112
Задания Д7 C2 № 521273

В конусе с вершиной в точке Р высота равна 1, а образующая равна 2. В основании конуса провели диаметр CD и перпендикулярную ему хорду АВ. Известно, что хорда АВ удалена от центра основания на расстояние, равное 1.

а) Докажите, что треугольник РАВ прямоугольный.

б) Найдите сумму объемов пирамид САРВ и DАРВ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 197.

113
Задания Д7 C2 № 521425

Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.

а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.

б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 209.

114
Задания Д7 C2 № 521550

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 219.

115
Задания Д7 C2 № 521908

В конусе с вершиной в точке Р высота РО =  В его основании проведена

хорда АВ, отстоящая от точки О на расстоянии, равном 3. Известно, что радиус

основания конуса равен 5.

а) Докажите, что расстояние от точки Р до прямой АВ вдвое меньше длины отрезка АВ.

б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды РОАВ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 237.

116
Задания Д7 C2 № 526922

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором

а) Докажите, что объем пирамиды составляет объема призмы.

б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды , если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 198.

117
Задания Д7 C2 № 526929

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, причем Через точку перпендикулярно проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость α, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 199.

118
Задания Д7 C2 № 526936

В прямоугольном параллелепипеде на ребре отмечена точка K так, что Через точку K параллельно проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро CD в такой точке M, что

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью β, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 200.

Пройти тестирование по этим заданиям