СДАМ ГИА






Каталог заданий. Круглые тела
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Плос­кость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит объем ко­ну­са по­по­лам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

За­да­ние 0 № 505593


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.
2

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ме­ди­а­не AD ос­но­ва­ния ABC. Найти от­но­ше­ние объ­е­ма тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, от­се­ка­е­мой от ис­ход­ной про­ве­ден­ной плос­ко­стью, к объ­е­му пи­ра­ми­ды SABC.

За­да­ние 0 № 505623


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
3

Все грани тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды — рав­ные рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки, а вы­со­та пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с вы­со­той одной из ее бо­ко­вых гра­ней. Найти объем пи­ра­ми­ды, если рас­сто­я­ние между наи­боль­ши­ми про­ти­во­по­лож­ны­ми реб­ра­ми равно еди­ни­це.

За­да­ние 0 № 505641


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.
4

В усе­чен­ный конус, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го на­кло­не­на под углом 45 гра­ду­сов к ниж­не­му ос­но­ва­нию, впи­сан шар. Найти от­но­ше­ние ве­ли­чи­ны бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са к ве­ли­чи­не по­верх­но­сти шара.

За­да­ние 0 № 505653


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.
5

На реб­рах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F про­ве­де­на плос­кость, де­ля­щая куб на две части. Най­ди­те от­но­ше­ния объ­е­ма части, со­дер­жа­щей точку B1, к объ­е­му всего куба.

За­да­ние 0 № 505665


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.
6

Дана пи­ра­ми­да SABC, точки D и E лежат со­от­вет­ствен­но на реб­рах SA и SB, при­чем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ребру SC. В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объем пи­ра­ми­ды?

За­да­ние 0 № 505671


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.
7

В пи­ра­ми­де SABC ребра SC, и AC равны со­от­вет­ствен­но 3 и 4. Из­вест­но, что угол ABC тупой, ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен Найти пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S, точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

За­да­ние 0 № 505707


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.
8

Длина вы­со­ты SO пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равна 1, а длины сто­рон ос­но­ва­ния ABC равны Точки M и N — се­ре­ди­ны от­рез­ков АС и AB. Вы­чис­лить ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SАMN.

За­да­ние 0 № 505731


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.
9

В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12. Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му ко­ну­са.

За­да­ние 0 № 505755


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.
10

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 7, 8, 9. Бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60 гра­ду­сов. Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 505761


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.
11

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S про­ве­де­на вы­со­та SD. На от­рез­ке SD взята точка K так, что SK : KD = 1 : 2. Из­вест­но, что дву­гран­ные углы между ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равны 30 гра­ду­сов, а рас­сто­я­ние от точки K до бо­ко­во­го ребра равно Найти объём пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 505767


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.
12

Угол на­кло­на всех бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды SABC оди­на­ков и равен Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Найти бо­ко­вую по­верх­ность пи­ра­ми­ды, если а ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти равен 1.

За­да­ние 0 № 505773


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.
13

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Через пря­мую AB про­ве­де­но се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ное ребру SC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 18. Найти длину бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 505779


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.
14

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD сто­ро­на равна Точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Через пря­мую AK про­ве­де­но се­че­ние, па­рал­лель­ное одной из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния, пло­щадь ко­то­ро­го равна 60. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти се­че­ния.

За­да­ние 0 № 505785


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.
15

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки K и N се­ре­ди­ны рёбер AB и AD со­от­вет­ствен­но. Пря­мая DO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KN и DO равно 3. Найти пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны трёх смеж­ных рёбер.

За­да­ние 0 № 505791


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.
16

Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 опи­са­на около шара ра­ди­у­са 1. Пусть M — се­ре­ди­на ребра BB1 и N —  се­ре­ди­на ребра СС1. В шар впи­сан пря­мой кру­го­вой ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN. Най­ди­те объём этого ци­лин­дра.

За­да­ние 0 № 505797


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.
17

Дана тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 (AA1 || BB1 || CC1). На ребре CC1 вы­бра­на точка D. Се­че­ние, про­хо­дя­щее через точки A, B1 и D, делит приз­му на два мно­го­гран­ни­ка ABCDB1 и B1AA1C1D, от­но­ше­ние объёмов ко­то­рых равно 13 : 17. В каком от­но­ше­нии точка D делит ребро CC1?

За­да­ние 0 № 505821


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.
18

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AD1 и A1C1.

За­да­ние 0 № 505889


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.
19

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды слу­жит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Через сто­ро­ну AB и се­ре­ди­ну K бо­ко­во­го ребра про­ве­де­на плос­кость. Найти от­но­ше­ние объ­е­мов по­лу­чив­ших­ся ча­стей.

За­да­ние 0 № 505901


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.
20

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD плос­кие углы BAC, BAD и CAD при вер­ши­не A равны и со­от­вет­ствен­но. Опре­де­лить угол между гра­ня­ми BAD и CAD.

За­да­ние 0 № 506015


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.
21

Через се­ре­ди­ну диа­го­на­ли куба про­ве­де­на плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­но этой диа­го­на­ли. Найти от­но­ше­ние пло­ща­ди се­че­ния куба дан­ной плос­ко­стью к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти куба.

За­да­ние 0 № 506021


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.
22

Се­че­ние SAB, про­хо­дя­щее через вер­ши­ну S пря­мо­го кру­го­во­го ко­ну­са, имеет пло­щадь 60. Точки A и B, ле­жа­щие на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делят ее длину в от­но­ше­нии 1 : 5. Найти объем ко­ну­са, если угол SAB равен

За­да­ние 0 № 506045


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.
23

В пря­мом кру­гом ци­лин­дре, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го квад­рат со сто­ро­ной 12, хорда , рав­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­мет­ру Найти пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью если об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра.

За­да­ние 0 № 506051


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.
Показать решение

24

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB = 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мой CC1 и пря­мой, про­хо­дя­щей через точку A и па­рал­лель­ной пря­мой CM1, где M1 — се­ре­ди­на сто­ро­ны A1B1.

За­да­ние 0 № 506057


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.
25

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 6 и бо­ко­вым реб­ром 5, про­ве­де­на плос­кость через се­ре­ди­ны ребер и В пи­ра­ми­ду впи­сан шар. Найти пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью

За­да­ние 0 № 506063


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.
26

Две па­рал­лель­ные плос­ко­сти, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 2, пе­ре­се­ка­ют шар. Одна из плос­ко­стей про­хо­дит через центр шара. От­но­ше­ние пло­ща­дей се­че­ния шара этими плос­ко­стя­ми равно 0,84. Най­ди­те ра­ди­ус шара.

За­да­ние 0 № 506069


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.
27

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. На про­дол­же­нии ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а) По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую точки K, B и L;

б) В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объём пи­ра­ми­ды?

За­да­ние 0 № 508087


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.
28

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Через се­ре­ди­ны ребер AB и BC па­рал­лель­но пря­мой ВD1 про­ве­де­на плос­кость.

А) По­строй­те се­че­ние куба этой плос­ко­стью.

Б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

За­да­ние 0 № 508131


Источник: Нерешенные задания
29

Плос­кость пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые ребра SA и SB тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но и делит объем пи­ра­ми­ды по­по­лам

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.

б) В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит ме­ди­а­ну SN грани SBC?

За­да­ние 0 № 508137


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.
30

На ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вы­со­той 2 лежит шар, ка­са­ю­щий­ся ос­но­ва­ния в его цен­тре. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние, равен 1. Плос­кость p, про­ведённая через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и се­ре­ди­ны двух сто­рон ос­но­ва­ния, ка­са­ет­ся этого шара.

а) По­строй­те плос­кость p.

б) Най­ди­те ра­ди­ус шара.

За­да­ние 0 № 508143


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.
31

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD каж­дое ребро равно 12. На ребре PC от­ме­че­на точка K так, что PK : KC = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей ABK и PCD па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK.

За­да­ние 0 № 508167


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.
32

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 25 и 7 и ост­рым углом  Каж­дое бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды на­кло­не­но к ос­но­ва­нию под углом 60°.

А) До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка M, оди­на­ко­во уда­лен­ная от всех вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы).

Б) Най­ди­те объем дан­ной пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 508185


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.
33

Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся. Най­ди­те ра­ди­ус сферы, ка­са­ю­щей­ся всех четырёх сфер.

За­да­ние 0 № 509167
34

Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са, со­дер­жа­ще­го эти сферы так, что все они ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти и три из них — ос­но­ва­ния ко­ну­са.

За­да­ние 0 № 509168
35

Два шара ка­са­ют­ся друг друга и гра­ней трёхгран­но­го угла, все плос­кие углы ко­то­ро­го пря­мые. Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов этих шаров.

За­да­ние 0 № 509169
36

Внут­ри пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с реб­ром a‍ рас­по­ло­же­ны че­ты­ре рав­ных шара. Каж­дый шар ка­са­ет­ся трёх дру­гих и трёх гра­ней тет­ра­эд­ра. Най­ди­те ра­ди­у­сы шаров.

За­да­ние 0 № 509170
37

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равно b,‍ а плос­кий угол при вер­ши­не равен α.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 509171
38

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 509172
39

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду.

За­да­ние 0 № 509173
40

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 45‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 509174
41

Сто­ро­на ос­но­ва­ния и вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды пи­ра­ми­ды равны a.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 509175
42

Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA‍1B‍1C‍1‍ опи­са­на около шара ра­ди­у­са R.‍ Точки M‍ и N —‍ се­ре­ди­ны рёбер BB‍1‍ и CC‍1.‍ В шар впи­сан ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN.‍ Най­ди­те объём ци­лин­дра

За­да­ние 0 № 509176
43

Шар ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния АВС пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC в точке В и ее бо­ко­во­го ребра SA. Най­ди­те ра­ди­ус шара, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 4.

За­да­ние 0 № 511160


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.
44

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1.

а) До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B1, B, C1 со­став­ля­ет тре­тью часть объ­е­ма приз­мы.

б) Най­ди­те угол между пря­мы­ми AB1 и BC1, если из­вест­но, что AB = 2, AA1 = 4.

За­да­ние 0 № 511266


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.
45

Все плос­кие углы при вер­ши­не S пи­ра­ми­ды SABC пря­мые.

а) До­ка­жи­те, что точка S, точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и точка, рав­но­уда­лен­ная от вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы), лежат на одной пря­мой.

б) Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если из­вест­но, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

За­да­ние 0 № 511273


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.
46

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 18. Вы­со­та приз­мы равна Точка N делит ребро A1C1 в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая, от точки A1.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

За­да­ние 0 № 511280


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.
47

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды PABC яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 6. Каж­дая бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в дан­ную пи­ра­ми­ду.

За­да­ние 0 № 511830


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.
48

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром CB = CA = 5, BA = 6. Вы­со­та приз­мы равна 10. Точка M — се­ре­ди­на ребра AA1.

А) По­строй­те пря­мую, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти MBC1 и ABC.

Б) Вы­чис­ли­те угол между плос­ко­стя­ми MBC1 и ABC.

За­да­ние 0 № 511837


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
49

Через вер­ши­ну В1 куба ABCDA1B1C1D1 про­ве­де­на плос­кость Ω, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой ВD1.

А) До­ка­жи­те, что плос­кость Ω делит от­ре­зок ВD1 в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны D1.

Б) Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет куб плос­кость Ω.

За­да­ние 0 № 511891


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
50

а) До­ка­жи­те, что ме­ди­а­ны тет­ра­эд­ра (от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие вер­ши­ны с точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан про­ти­во­по­лож­ных гра­ней) и от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны про­ти­во­по­лож­ных ребер, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б) Дан тет­ра­эдр с пря­мы­ми плос­ки­ми уг­ла­ми при вер­ши­не Пло­ща­ди гра­ней и равны со­от­вет­ствен­но 132, 150, 539. Най­ди­те объем тет­ра­эд­ра.

За­да­ние 0 № 512424


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
51

Все ребра пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны

а) По­стро­ить се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AFC1.

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

За­да­ние 0 № 512431


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.
52

Все ребра куба равны

а) По­строй­те се­че­ние куба, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер AB, BC, CC1.

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

За­да­ние 0 № 512438


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.
53

Все ребра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равны 4.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер BC, CC1, A1C1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

За­да­ние 0 № 512445


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.
54

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.

а) До­ка­жи­те, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плос­ко­сти.

б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках B, C1, D и A1.

За­да­ние 0 № 512452


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.
55

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра и SC = 17.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AB и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки А, В и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны S.

За­да­ние 0 № 512459


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.
56

На вы­со­те рав­но­сто­рон­не­го ко­ну­са как на диа­мет­ре по­стро­ен шар. 

а) До­ка­жи­те, что пол­ная по­верх­ность ко­ну­са рав­но­ве­ли­ка по­верх­но­сти шара. 

б) Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма той части ко­ну­са, ко­то­рая лежит внут­ри шара, к объ­е­му той части шара, ко­то­рая лежит вне ко­ну­са. 

За­да­ние 0 № 512466


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.
57

AB — диа­метр ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD — хорда верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, причём CD || AB.

а) До­ка­жи­те, что от­рез­ки AC и BD равны.

б) Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся четырёхуголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B, C, D, а вер­ши­ной — центр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, если из­вест­но, что вы­со­та ци­лин­дра равна 9, AB = 26, CD = 10.

За­да­ние 0 № 514589


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика