СДАМ ГИА






Каталог заданий. Круглые тела
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 0 № 505593

Плоскость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния конуса, делит объем ко­ну­са пополам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния конуса.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.

2
Задание 0 № 505623

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N про­ве­де­на плоскость, па­рал­лель­ная ме­ди­а­не AD ос­но­ва­ния ABC. Найти от­но­ше­ние объ­е­ма тре­уголь­ной пирамиды, от­се­ка­е­мой от ис­ход­ной про­ве­ден­ной плоскостью, к объ­е­му пи­ра­ми­ды SABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

3
Задание 0 № 505641

Все грани тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды — рав­ные рав­но­бед­рен­ные треугольники, а вы­со­та пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с вы­со­той одной из ее бо­ко­вых граней. Найти объем пирамиды, если рас­сто­я­ние между наи­боль­ши­ми про­ти­во­по­лож­ны­ми реб­ра­ми равно единице.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.

4
Задание 0 № 505653

В усе­чен­ный конус, об­ра­зу­ю­щая которого на­кло­не­на под углом 45 гра­ду­сов к ниж­не­му основанию, впи­сан шар. Найти от­но­ше­ние величины бо­ко­вой поверхности усе­чен­но­го конуса к ве­ли­чи­не поверхности шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.

5
Задание 0 № 505665

На реб­рах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F про­ве­де­на плоскость, де­ля­щая куб на две части. Най­ди­те от­но­ше­ния объ­е­ма части, со­дер­жа­щей точку B1, к объ­е­му всего куба.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.

6
Задание 0 № 505671

Дана пи­ра­ми­да SABC, точки D и E лежат со­от­вет­ствен­но на реб­рах SA и SB, при­чем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E про­ве­де­на плоскость, па­рал­лель­ная ребру SC. В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объем пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.

7
Задание 0 № 505707

В пи­ра­ми­де SABC ребра SC, и AC равны со­от­вет­ствен­но 3 и 4. Известно, что угол ABC тупой, ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти основания ABC, а ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен Найти пло­щадь сечения пи­ра­ми­ды плоскостью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S, точку пе­ре­се­че­ния медиан тре­уголь­ни­ка ABC и центр окружности, впи­сан­ной в этот треугольник.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.

8
Задание 0 № 505731

Длина вы­со­ты SO пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равна 1, а длины сто­рон ос­но­ва­ния ABC равны Точки M и N — се­ре­ди­ны от­рез­ков АС и AB. Вы­чис­лить ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SАMN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.

9
Задание 0 № 505755

В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12. Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му конуса.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

10
Задание 0 № 505761

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8, 9. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите высоту пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.

11
Задание 0 № 505767

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S про­ве­де­на вы­со­та SD. На от­рез­ке SD взята точка K так, что SK : KD = 1 : 2. Известно, что дву­гран­ные углы между ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равны 30 градусов, а рас­сто­я­ние от точки K до бо­ко­во­го ребра равно Найти объём пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.

12
Задание 0 № 505773

Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен Основанием пирамиды являются прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Найти боковую поверхность пирамиды, если а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.

13
Задание 0 № 505779

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Через пря­мую AB про­ве­де­но се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ное ребру SC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 18. Найти длину бо­ко­во­го ребра пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

14
Задание 0 № 505785

В пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD сто­ро­на равна Точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Через пря­мую AK про­ве­де­но сечение, па­рал­лель­ное одной из диа­го­на­лей основания, пло­щадь которого равна 60. Най­ди­те расстояние от точки B до плос­ко­сти сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.

15
Задание 0 № 505791

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки K и N се­ре­ди­ны рёбер AB и AD соответственно. Пря­мая DO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KN и DO равно 3. Найти пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны трёх смеж­ных рёбер.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

16
Задание 0 № 505797

Правильная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 опи­са­на около шара ра­ди­у­са 1. Пусть M — се­ре­ди­на ребра BB1 и N —  се­ре­ди­на ребра СС1. В шар впи­сан пря­мой кру­го­вой ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN. Най­ди­те объём этого цилиндра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.

17
Задание 0 № 505821

Дана тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 (AA1 || BB1 || CC1). На ребре CC1 вы­бра­на точка D. Сечение, про­хо­дя­щее через точки A, B1 и D, делит приз­му на два мно­го­гран­ни­ка ABCDB1 и B1AA1C1D, от­но­ше­ние объёмов ко­то­рых равно 13 : 17. В каком от­но­ше­нии точка D делит ребро CC1?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

18
Задание 0 № 505889

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Най­ди­те расстояние между пря­мы­ми AD1 и A1C1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.

19
Задание 0 № 505901

Основанием пи­ра­ми­ды служит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Через сто­ро­ну AB и се­ре­ди­ну K бо­ко­во­го ребра про­ве­де­на плоскость. Найти от­но­ше­ние объемов по­лу­чив­ших­ся частей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.

20
Задание 0 № 506015

В тре­уголь­ной пирамиде ABCD плос­кие углы BAC, BAD и CAD при вер­ши­не A равны и соответственно. Опре­де­лить угол между гра­ня­ми BAD и CAD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

21
Задание 0 № 506021

Через се­ре­ди­ну диагонали куба про­ве­де­на плоскость пер­пен­ди­ку­ляр­но этой диагонали. Найти от­но­ше­ние площади се­че­ния куба дан­ной плоскостью к пло­ща­ди полной по­верх­но­сти куба.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.

22
Задание 0 № 506045

Сечение SAB, про­хо­дя­щее через вер­ши­ну S пря­мо­го кругового конуса, имеет пло­щадь 60. Точки A и B, ле­жа­щие на окруж­но­сти основания конуса, делят ее длину в от­но­ше­нии 1 : 5. Найти объем конуса, если угол SAB равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.

23
Задание 0 № 506051

В пря­мом кру­гом цилиндре, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го квад­рат со сто­ро­ной 12, хорда , рав­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­мет­ру Найти пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью если об­ра­зу­ю­щая цилиндра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.
Решение ·

24
Задание 0 № 506057

В ос­но­ва­нии прямой приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный треугольник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB = 10. Най­ди­те расстояние между пря­мой CC1 и прямой, про­хо­дя­щей через точку A и па­рал­лель­ной прямой CM1, где M1 — се­ре­ди­на стороны A1B1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

25
Задание 0 № 506063

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 6 и бо­ко­вым реб­ром 5, про­ве­де­на плос­кость через се­ре­ди­ны ребер и В пи­ра­ми­ду впи­сан шар. Найти пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.

26
Задание 0 № 506069

Две па­рал­лель­ные плоскости, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 2, пе­ре­се­ка­ют шар. Одна из плос­ко­стей проходит через центр шара. От­но­ше­ние площадей се­че­ния шара этими плос­ко­стя­ми равно 0,84. Най­ди­те радиус шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.

27
Задание 0 № 508087

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;

б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

28
Задание 0 № 508137

Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.

б) В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

29
Задание 0 № 508143

На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость p, проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.

а) Постройте плоскость p.

б) Найдите радиус шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.

30
Задание 0 № 508167

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое ребро равно 12. На ребре PC отмечена точка K так, что PK : KC = 1 : 3.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABK и PCD параллельна плоскости ABC.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

31
Задание 0 № 509167

Четыре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но касаются. Най­ди­те радиус сферы, ка­са­ю­щей­ся всех четырёх сфер.


32
Задание 0 № 509168

Четыре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Най­ди­те вы­со­ту конуса, со­дер­жа­ще­го эти сферы так, что все они ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти и три из них — ос­но­ва­ния конуса.


33
Задание 0 № 509169

Два шара ка­са­ют­ся друг друга и гра­ней трёхгранного угла, все плос­кие углы ко­то­ро­го прямые. Най­ди­те отношение ра­ди­у­сов этих шаров.


34
Задание 0 № 509170

Внутри пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с реб­ром a‍ рас­по­ло­же­ны че­ты­ре рав­ных шара. Каж­дый шар ка­са­ет­ся трёх дру­гих и трёх гра­ней тетраэдра. Най­ди­те ра­ди­у­сы шаров.


35
Задание 0 № 509171

Боковое ребро пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­ды равно b,‍ а плос­кий угол при вер­ши­не равен α.‍ Най­ди­те радиус сферы опи­сан­ной около пирамиды.


36
Задание 0 № 509172

Сторона ос­но­ва­ния правильной тре­уголь­ной пирамиды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью основания угол 60‍°.‍ Най­ди­те радиус сферы, опи­сан­ной около пирамиды.


37
Задание 0 № 509173

Сторона ос­но­ва­ния правильной тре­уголь­ной пирамиды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью основания угол 60‍°.‍ Най­ди­те радиус сферы, впи­сан­ной в пирамиду.


38
Задание 0 № 509174

Сторона ос­но­ва­ния правильной четырёхугольной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью основания угол 45‍°.‍ Най­ди­те радиус сферы, опи­сан­ной около пирамиды.


39
Задание 0 № 509175

Сторона ос­но­ва­ния и вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды пи­ра­ми­ды равны a.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пирамиды.


40
Задание 0 № 509176

Правильная тре­уголь­ная приз­ма ABCA‍1B‍1C‍1‍ опи­са­на около шара ра­ди­у­са R.‍ Точки M‍ и N —‍ се­ре­ди­ны рёбер BB‍1‍ и CC‍1.‍ В шар впи­сан ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN.‍ Най­ди­те объём цилиндра


41
Задание 0 № 511160

Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.

42
Задание 0 № 511266

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1.

а) Докажите, что объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B1, B, C1 со­став­ля­ет тре­тью часть объ­е­ма призмы.

б) Най­ди­те угол между пря­мы­ми AB1 и BC1, если известно, что AB = 2, AA1 = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

43
Задание 0 № 511273

Все плос­кие углы при вер­ши­не S пи­ра­ми­ды SABC прямые.

а) Докажите, что точка S, точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и точка, рав­но­уда­лен­ная от вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы), лежат на одной прямой.

б) Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

44
Задание 0 № 511280

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 18. Вы­со­та приз­мы равна Точка N делит ребро A1C1 в от­но­ше­нии 1 : 2, считая, от точки A1.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пло­щадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

45
Задание 0 № 511830

Основанием пи­ра­ми­ды PABC яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 6. Каж­дая бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в дан­ную пирамиду.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

46
Задание 0 № 511837

Основанием пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром CB = CA = 5, BA = 6. Вы­со­та приз­мы равна 10. Точка M — се­ре­ди­на ребра AA1.

А) По­строй­те прямую, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти MBC1 и ABC.

Б) Вы­чис­ли­те угол между плос­ко­стя­ми MBC1 и ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

47
Задание 0 № 511891

Через вершину В1 куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость Ω, перпендикулярная прямой ВD1.

А) Докажите, что плоскость Ω делит отрезок ВD1 в отношении 2 : 1, считая от вершины D1.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые разбивает куб плоскость Ω.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

48
Задание 0 № 512424

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

49
Задание 0 № 512431

Все ребра пра­виль­ной шестиугольной приз­мы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны

а) По­стро­ить сечение приз­мы плоскостью AFC1.

б) Най­ди­те площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

50
Задание 0 № 512438

Все ребра куба равны

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

51
Задание 0 № 512445

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 4.

а) Постройте сечение призмы, проходящее через середины ребер BC, CC1, A1C1.

б) Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

52
Задание 0 № 512452

В пря­мо­уголь­ном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.

а) Докажите, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плоскости.

б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках B, C1, D и A1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

53
Задание 0 № 512459

В пра­виль­ной треугольной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра и SC = 17.

а) Докажите, что пря­мые AB и SC перпендикулярны.

б) Най­ди­те площадь се­че­ния пирамиды плоскостью, про­хо­дя­щей через точки А, В и се­ре­ди­ну высоты пирамиды, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны S.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

54
Задание 0 № 512466

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар. 

а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара. 

б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

55
Задание 0 № 514589

AB — диаметр нижнего основания цилиндра, а CD — хорда верхнего основания цилиндра, причём CD || AB.

а) Докажите, что отрезки AC и BD равны.

б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, D, а вершиной — центр верхнего основания цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна 9, AB = 26, CD = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!