СДАМ ГИА






Каталог заданий. Круглые тела
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Плоскость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния конуса, делит объем ко­ну­са пополам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния конуса.

Задание 0 № 505593


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.
2

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N про­ве­де­на плоскость, па­рал­лель­ная ме­ди­а­не AD ос­но­ва­ния ABC. Найти от­но­ше­ние объ­е­ма тре­уголь­ной пирамиды, от­се­ка­е­мой от ис­ход­ной про­ве­ден­ной плоскостью, к объ­е­му пи­ра­ми­ды SABC.

Задание 0 № 505623


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
3

Все грани тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды — рав­ные рав­но­бед­рен­ные треугольники, а вы­со­та пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с вы­со­той одной из ее бо­ко­вых граней. Найти объем пирамиды, если рас­сто­я­ние между наи­боль­ши­ми про­ти­во­по­лож­ны­ми реб­ра­ми равно единице.

Задание 0 № 505641


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.
4

В ос­но­ва­нии треугольной пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный треугольник ABC. Се­ре­ди­на D ги­по­те­ну­зы AB этого тре­уголь­ни­ка является ос­но­ва­ни­ет высоты SD дан­ной пирамиды. Известно, что SD = 2, AC = 4, BC = 3. Через се­ре­ди­ну высоты SD про­ве­де­но сечение пи­ра­ми­ды плоскостью, па­рал­лель­ной ребрам AC и SB. Найти пло­щадь этого сечения.

Задание 0 № 505647


Источник: Нерешенные задания
5

В усе­чен­ный конус, об­ра­зу­ю­щая которого на­кло­не­на под углом 45 гра­ду­сов к ниж­не­му основанию, впи­сан шар. Найти от­но­ше­ние величины бо­ко­вой поверхности усе­чен­но­го конуса к ве­ли­чи­не поверхности шара.

Задание 0 № 505653


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.
6

В пря­мо­уголь­ном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 про­ве­де­на секущая плоскость, со­дер­жа­щая диагональ AC1, так, что се­че­ние — ромб. Най­ди­те площадь сечения, если AB = 3, BC = 2 и AA1 = 5.

Задание 0 № 505659


Источник: Нерешенные задания
7

На реб­рах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F про­ве­де­на плоскость, де­ля­щая куб на две части. Най­ди­те от­но­ше­ния объ­е­ма части, со­дер­жа­щей точку B1, к объ­е­му всего куба.

Задание 0 № 505665


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.
8

Дана пи­ра­ми­да SABC, точки D и E лежат со­от­вет­ствен­но на реб­рах SA и SB, при­чем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E про­ве­де­на плоскость, па­рал­лель­ная ребру SC. В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объем пирамиды?

Задание 0 № 505671


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.
9

Объем пи­ра­ми­ды ABCD равен 5. Через се­ре­ди­ны ребер AD и BC про­ве­де­на плоскость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти пло­щадь сечения, если рас­сто­я­ние от плос­ко­сти сечения до вер­ши­ны A равно 1.

Задание 0 № 505677


Источник: Нерешенные задания
10

В пи­ра­ми­де SABC ребра SC, и AC равны со­от­вет­ствен­но 3 и 4. Известно, что угол ABC тупой, ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти основания ABC, а ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен Найти пло­щадь сечения пи­ра­ми­ды плоскостью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S, точку пе­ре­се­че­ния медиан тре­уголь­ни­ка ABC и центр окружности, впи­сан­ной в этот треугольник.

Задание 0 № 505707


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.
11

На про­дол­же­нии ребра ST за точку T пра­виль­ной четырехугольной пи­ра­ми­ды SPQRT с вер­ши­ной S взята точка B так, что рас­сто­я­ние от этой точки до плос­ко­сти SPQ равно Найти длину от­рез­ка BT, если QR = 12, SR = 10.

Задание 0 № 505719


Источник: Нерешенные задания
12

Длина вы­со­ты SO пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равна 1, а длины сто­рон ос­но­ва­ния ABC равны Точки M и N — се­ре­ди­ны от­рез­ков АС и AB. Вы­чис­лить ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SАMN.

Задание 0 № 505731


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.
13

В ос­но­ва­нии пирамиды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 6 и BC = 9. Вы­со­та пирамиды про­хо­дит через точку O пе­ре­се­че­ния диагоналей AC и BD ос­но­ва­ния и равна Точки E и F лежат на реб­рах AB и AD соответственно, при­чем AE = 4, AF = 6. Найти пло­щадь многогранника, по­лу­чен­но­го при пе­ре­се­че­нии пирамиды с плоскостью, про­хо­дя­щей через точки E и F и па­рал­лель­ной ребру AS.

Задание 0 № 505737


Источник: Нерешенные задания
14

В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12. Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му конуса.

Задание 0 № 505755


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.
15

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8, 9. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите высоту пирамиды.

Задание 0 № 505761


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.
16

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S про­ве­де­на вы­со­та SD. На от­рез­ке SD взята точка K так, что SK : KD = 1 : 2. Известно, что дву­гран­ные углы между ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равны 30 градусов, а рас­сто­я­ние от точки K до бо­ко­во­го ребра равно Найти объём пирамиды.

Задание 0 № 505767


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.
17

Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен Основанием пирамиды являются прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Найти боковую поверхность пирамиды, если а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.

Задание 0 № 505773


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.
18

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Через пря­мую AB про­ве­де­но се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ное ребру SC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 18. Найти длину бо­ко­во­го ребра пирамиды.

Задание 0 № 505779


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.
19

В пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD сто­ро­на равна Точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Через пря­мую AK про­ве­де­но сечение, па­рал­лель­ное одной из диа­го­на­лей основания, пло­щадь которого равна 60. Най­ди­те расстояние от точки B до плос­ко­сти сечения.

Задание 0 № 505785


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.
20

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки K и N се­ре­ди­ны рёбер AB и AD соответственно. Пря­мая DO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KN и DO равно 3. Найти пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны трёх смеж­ных рёбер.

Задание 0 № 505791


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.
21

Правильная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 опи­са­на около шара ра­ди­у­са 1. Пусть M — се­ре­ди­на ребра BB1 и N —  се­ре­ди­на ребра СС1. В шар впи­сан пря­мой кру­го­вой ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN. Най­ди­те объём этого цилиндра.

Задание 0 № 505797


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.
22

Дана тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 (AA1 || BB1 || CC1). На ребре CC1 вы­бра­на точка D. Сечение, про­хо­дя­щее через точки A, B1 и D, делит приз­му на два мно­го­гран­ни­ка ABCDB1 и B1AA1C1D, от­но­ше­ние объёмов ко­то­рых равно 13 : 17. В каком от­но­ше­нии точка D делит ребро CC1?

Задание 0 № 505821


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.
23

В ос­но­ва­нии пирамиды SABC лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но основанию пирамиды. Найти ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пирамиды, если известно, что от­но­ше­ние радиуса впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду сферы к ребру SA равно 2/7.

Задание 0 № 505827


Источник: Нерешенные задания
24

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD угол между гра­ня­ми ABC и ACD равен плос­кий угол BAC равен а рёбра AC и AD перпендикулярны. Найти длину ребра AD, если AB = 5,

Задание 0 № 505833


Источник: Нерешенные задания
25

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Най­ди­те расстояние между пря­мы­ми AD1 и A1C1.

Задание 0 № 505889


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.
26

Основанием пи­ра­ми­ды служит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Через сто­ро­ну AB и се­ре­ди­ну K бо­ко­во­го ребра про­ве­де­на плоскость. Найти от­но­ше­ние объемов по­лу­чив­ших­ся частей.

Задание 0 № 505901


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.
27

В тре­уголь­ной пирамиде ABCD плос­кие углы BAC, BAD и CAD при вер­ши­не A равны и соответственно. Опре­де­лить угол между гра­ня­ми BAD и CAD.

Задание 0 № 506015


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.
28

Через се­ре­ди­ну диагонали куба про­ве­де­на плоскость пер­пен­ди­ку­ляр­но этой диагонали. Найти от­но­ше­ние площади се­че­ния куба дан­ной плоскостью к пло­ща­ди полной по­верх­но­сти куба.

Задание 0 № 506021


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.
29

Треугольная пи­ра­ми­да ABCD пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью P по че­ты­рех­уголь­ни­ку EFGH так, что вер­ши­ны E и F лежат на реб­рах AB и AC и длина от­рез­ка EF равна 1. Известно, что плос­кость P па­рал­лель­на противоположным реб­рам AD и BC, ко­то­рые равны со­от­вет­ствен­но 4 и 2. Найти пе­ри­метр четырехугольника.

Задание 0 № 506039


Источник: Нерешенные задания
30

Сечение SAB, про­хо­дя­щее через вер­ши­ну S пря­мо­го кругового конуса, имеет пло­щадь 60. Точки A и B, ле­жа­щие на окруж­но­сти основания конуса, делят ее длину в от­но­ше­нии 1 : 5. Найти объем конуса, если угол SAB равен

Задание 0 № 506045


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.
31

В пря­мом кру­гом цилиндре, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го квад­рат со сто­ро­ной 12, хорда , рав­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­мет­ру Найти пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью если об­ра­зу­ю­щая цилиндра.

Задание 0 № 506051


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.
Решение

32

В ос­но­ва­нии прямой приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный треугольник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB = 10. Най­ди­те расстояние между пря­мой CC1 и прямой, про­хо­дя­щей через точку A и па­рал­лель­ной прямой CM1, где M1 — се­ре­ди­на стороны A1B1.

Задание 0 № 506057


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.
33

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 6 и бо­ко­вым реб­ром 5, про­ве­де­на плос­кость через се­ре­ди­ны ребер и В пи­ра­ми­ду впи­сан шар. Найти пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью

Задание 0 № 506063


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.
34

Две па­рал­лель­ные плоскости, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 2, пе­ре­се­ка­ют шар. Одна из плос­ко­стей проходит через центр шара. От­но­ше­ние площадей се­че­ния шара этими плос­ко­стя­ми равно 0,84. Най­ди­те радиус шара.

Задание 0 № 506069


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.
35

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;

б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Задание 0 № 508087


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.
36

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Через се­ре­ди­ны ребер AB и BC па­рал­лель­но прямой ВD1 про­ве­де­на плоскость.

А) По­строй­те сечение куба этой плоскостью.

Б) Най­ди­те площадь по­лу­чен­но­го сечения.

Задание 0 № 508131


Источник: Нерешенные задания
37

Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.

б) В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?

Задание 0 № 508137


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.
38

На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость p, проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.

а) Постройте плоскость p.

б) Найдите радиус шара.

Задание 0 № 508143


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.
39

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое ребро равно 12. На ребре PC отмечена точка K так, что PK : KC = 1 : 3.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABK и PCD параллельна плоскости ABC.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK.

Задание 0 № 508167


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.
40

Сфера еди­нич­но­го радиуса впи­са­на в дву­гран­ный угол ве­ли­чи­ной 60°. В тот же угол впи­са­на сфера мень­ше­го радиуса так, что она ка­са­ет­ся предыдущей. Угол между пря­мой α, со­еди­ня­ю­щей центры обеих сфер, и реб­ром двугранного угла со­став­ля­ет 45°.

а) По­строй­те плоскость, про­хо­дя­щую через ребро дву­гран­но­го угла и пря­мую α.

б) Най­ди­те радиус мень­шей сферы.

Задание 0 № 508646


Источник: Нерешенные задания
41

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6, ВС = 9. Высота пирамиды проходит через точку О пересечения диагоналей АС и BD основания и равна Точки Е и F лежат на ребрах АВ и AD соответственно, причем АЕ = 4, AF = 6.

а) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е и F параллельно ребру AS

б) Найти площадь этого сечения.

Задание 0 № 508745


Источник: Нерешенные задания
42

Четыре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но касаются. Най­ди­те радиус сферы, ка­са­ю­щей­ся всех четырёх сфер.

Задание 0 № 509167
43

Четыре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Най­ди­те вы­со­ту конуса, со­дер­жа­ще­го эти сферы так, что все они ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти и три из них — ос­но­ва­ния конуса.

Задание 0 № 509168
44

Два шара ка­са­ют­ся друг друга и гра­ней трёхгранного угла, все плос­кие углы ко­то­ро­го прямые. Най­ди­те отношение ра­ди­у­сов этих шаров.

Задание 0 № 509169
45

Внутри пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с реб­ром a‍ рас­по­ло­же­ны че­ты­ре рав­ных шара. Каж­дый шар ка­са­ет­ся трёх дру­гих и трёх гра­ней тетраэдра. Най­ди­те ра­ди­у­сы шаров.

Задание 0 № 509170
46

Боковое ребро пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­ды равно b,‍ а плос­кий угол при вер­ши­не равен α.‍ Най­ди­те радиус сферы опи­сан­ной около пирамиды.

Задание 0 № 509171
47

Сторона ос­но­ва­ния правильной тре­уголь­ной пирамиды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью основания угол 60‍°.‍ Най­ди­те радиус сферы, опи­сан­ной около пирамиды.

Задание 0 № 509172
48

Сторона ос­но­ва­ния правильной тре­уголь­ной пирамиды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью основания угол 60‍°.‍ Най­ди­те радиус сферы, впи­сан­ной в пирамиду.

Задание 0 № 509173
49

Сторона ос­но­ва­ния правильной четырёхугольной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью основания угол 45‍°.‍ Най­ди­те радиус сферы, опи­сан­ной около пирамиды.

Задание 0 № 509174
50

Сторона ос­но­ва­ния и вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды пи­ра­ми­ды равны a.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пирамиды.

Задание 0 № 509175
51

Правильная тре­уголь­ная приз­ма ABCA‍1B‍1C‍1‍ опи­са­на около шара ра­ди­у­са R.‍ Точки M‍ и N —‍ се­ре­ди­ны рёбер BB‍1‍ и CC‍1.‍ В шар впи­сан ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN.‍ Най­ди­те объём цилиндра

Задание 0 № 509176
52

Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Задание 0 № 511160


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.
53

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1.

а) Докажите, что объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B1, B, C1 со­став­ля­ет тре­тью часть объ­е­ма призмы.

б) Най­ди­те угол между пря­мы­ми AB1 и BC1, если известно, что AB = 2, AA1 = 4.

Задание 0 № 511266


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.
54

Все плос­кие углы при вер­ши­не S пи­ра­ми­ды SABC прямые.

а) Докажите, что точка S, точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и точка, рав­но­уда­лен­ная от вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы), лежат на одной прямой.

б) Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Задание 0 № 511273


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.
55

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 18. Вы­со­та приз­мы равна Точка N делит ребро A1C1 в от­но­ше­нии 1 : 2, считая, от точки A1.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пло­щадь этого сечения.

Задание 0 № 511280


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.
56

Основанием пи­ра­ми­ды PABC яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 6. Каж­дая бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в дан­ную пирамиду.

Задание 0 № 511830


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.
57

Основанием пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром CB = CA = 5, BA = 6. Вы­со­та приз­мы равна 10. Точка M — се­ре­ди­на ребра AA1.

А) По­строй­те прямую, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти MBC1 и ABC.

Б) Вы­чис­ли­те угол между плос­ко­стя­ми MBC1 и ABC.

Задание 0 № 511837


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
58

Через вершину В1 куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость Ω, перпендикулярная прямой ВD1.

А) Докажите, что плоскость Ω делит отрезок ВD1 в отношении 2 : 1, считая от вершины D1.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые разбивает куб плоскость Ω.

Задание 0 № 511891


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
59

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Задание 0 № 512424


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
60

Все ребра пра­виль­ной шестиугольной приз­мы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны

а) По­стро­ить сечение приз­мы плоскостью AFC1.

б) Най­ди­те площадь этого сечения.

Задание 0 № 512431


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.
61

Все ребра куба равны

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Задание 0 № 512438


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.
62

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 4.

а) Постройте сечение призмы, проходящее через середины ребер BC, CC1, A1C1.

б) Найдите площадь сечения.

Задание 0 № 512445


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.
63

В пря­мо­уголь­ном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.

а) Докажите, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плоскости.

б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках B, C1, D и A1.

Задание 0 № 512452


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.
64

В пра­виль­ной треугольной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра и SC = 17.

а) Докажите, что пря­мые AB и SC перпендикулярны.

б) Най­ди­те площадь се­че­ния пирамиды плоскостью, про­хо­дя­щей через точки А, В и се­ре­ди­ну высоты пирамиды, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны S.

Задание 0 № 512459


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.
65

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар. 

а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара. 

б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса. 

Задание 0 № 512466


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.
66

AB — диаметр нижнего основания цилиндра, а CD — хорда верхнего основания цилиндра, причём CD || AB.

а) Докажите, что отрезки AC и BD равны.

б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, D, а вершиной — центр верхнего основания цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна 9, AB = 26, CD = 10.

Задание 0 № 514589


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!