Неравенства с параметром
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство выполняется для всех x.
Преобразуем неравенство:
Таким образом, просто нужно чтобы a было больше наибольшего значения функции 
Оно, очевидно, достигается при 
то есть при 
поскольку 
и оба равенства достигаются в указанных точках.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найти все значения параметра p, при каждом из которых множество решений неравенства 
не содержит ни одного решения неравенства 
Перейдем к равносильной системе:
Введем декартову систему координат xOp. Изобразим множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям 
и 
(рис. 1). Для этого построим график уравнения 
— параболу. Эта парабола делит плоскость на две области. Соотношению удовлетворяют координаты всех точек той области, которая содержит точку (1; 0), так как 
Далее, построим график уравнения 
— прямую, которая разбивает плоскость на две полуплоскости. Соотношению будут удовлетворять все точки полуплоскости, в которой лежит точка (0; 0), поскольку 
Выделим общие точки (пересечение) найденных областей (см. рис. 1).
Аналогично найдем пересечение областей, состоящих из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям 
и 
(см. рис. 2).
Объединяя результаты, полученные выше, найдем область, состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют соотношению 
Одновременно исключим из полученных результатов полосу, задаваемую неравенством 
т. е. соотношением 
(см. рис. 3).
Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой :
Ординаты точек пересечения прямых 
и 
прямых 
и суть 3 и 1 соответственно.
Из полученных выше результатов подлежат исключению все точки, принадлежащие криволинейной фигуре, ограниченной слева прямой 
справа — прямой 
сверху — прямой снизу — параболой 
все граничные точки не включены. Каждая точка, принадлежащая указанной фигуре, имеет ординату, принадлежащую интервалу (0; 3). Следовательно, искомые значения параметра p заполнят весь промежуток 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найти все значения параметра а, при которых неравенство 
выполняется для всех х, таких, что 
Рассмотрим функцию 
Для того чтобы заданное неравенство выполнялось для всех 
достаточно выполнения условия: 
Решим систему неравенств.
Замечание:
В общем случае достаточное условие, упомянутое выше, выглядит так: 
где k — коэффициент при старшем члене квадратного трехчлена. В нашем случае он (коэффициент) заведомо равен единице.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству 
хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [-2; 1].
Будем рассматривать заданное неравенство как неравенство с двумя переменными. Преобразуем его левую часть:
Исследуем заданное неравенство для всех 
Решим противоположную задачу: найдем значения х, при которых неравенство (*) не будет иметь ни одного решения, как только будет выполнено условие 
Введем функцию 
Этот квадратный трехчлен относительно а будет неположительным, если одновременно будут выполняться условия: 
и 
Теперь решим систему неравенств:
Второе неравенство решим методом интервалов и одновременно полученное решение пересечем с решением первого неравенства.
Получим результат: 
Проведенные исследования приводят нас к выводу: значения х,, удовлетворяющие условию хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [-2; 1], есть элементы множества 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найти все значения параметра p, для которых неравенство 
выполняется хотя бы для одного числа x такого, что | x | < 0,01.
Очевидно, что при 
это невозможно.
Если 
то подходит 
так как 
В дальнейшем считаем, что 
Рационализируем данное неравенство (потом еще надо будет учесть, что 
)
Рассмотрим теперь оставшиеся два случая.
1) Если 
Решая неравенство методом интервалов, получим 
Учитывая ОДЗ, получим 
Нужные точки найдутся в этом множестве если 
2) Если 
Решая неравенство методом интервалов, получим 
Учитывая ОДЗ, получим 
Нужные точки найдутся в этом множестве если 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх