Заданное уравнение приведем к виду

Рассмотрим функцию

Найдем область ее определения.

Разложим на множители многочлен Попытаемся найти хотя бы один его целый корень, если он имеется. Целыми корнями могут быть только числа: Заметим, что числа таковыми не являются. При Значит, число 7 является корнем многочлена Делением "уголком" на получим Вычислим корни квадратного трехчлена

Заметим, что:

поскольку (неравенство верно).

так как (неравенство очевидное).

Итак,

Найдем нули функции Для этого решим систему:

Поскольку это показано выше; то и разность

Делением «уголком» получим, что Далее:

Таким образом, число делит область определения функции на два промежутка знакопостоянства функции и Найдем эти знаки.

Заметим , что Действительно,

Итак, на

Очевидно, что

На

Если то уравнение будет иметь два корня: и То есть решение не единственное. Значит, значения и — не подходят.

Если то уравнение вообще не будет иметь корней, так как правая часть преобразованного уравнения обязана быть неотрицательной.

Следовательно, искомые значения параметра а будем искать только при выполнении условия т.е. при

Теперь наша задача заключается в нахождении области значений функции на

Имеем: Значит,

Однако, в силу того, что требуется найти значения параметра а, при которых заданное уравнение имеет единственный корень, то функция на отрезке каждое свое значение должна принимать лишь один раз, т. е. функция на рассматриваемом отрезке обязана быть либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Докажем, что она является монотонно убывающей.

Рассмотрим функцию на отрезке [0;1]

Найдем ее производную. Знаменатель на рассматриваемом интервале в нуль не обращается (это было показано выше). Следовательно, критические точки, если они есть, могут быть только в тех точках, в которых обращается в нуль числитель производной функции. Найдем эти значения.

Докажем, что эти корни не принадлежат промежутку (0;1).

Действительно,

Итак, на рассматриваемом отрезке функция критических точек не имеет.

следовательно, функция на промежутке [0 ;1] монотонно возрастает.

Рассмотрим функцию на том же отрезке [0;1].

Эта функция имеет единственную критическую точку По характеру изменения значений функции её также отнесем к числу монотонно возрастающих, поскольку

Заметим главное: скорость возрастания функции очевидно, будет больше, нежели скорость возрастания функции поскольку значения функции и уже в точке станут равными. И отсюда следует, что функция

монотонно убывает на [0;1]. Говоря по-другому, функция будучи разностью двух функций: (уменьшаемая) и (вычитаемая). Обе функции монотонно возрастающие. При этом при бесконечно малом приращении значения аргумента на [0;1], начиная от точки 0, уменьшаемая функция получит меньшее приращение, чем вычитаемая функция при таком же приращении аргумента. В силу этого разность на отрезке на [0;1] будет убывать от точки к точке (в противном случае равенство значений названных функций не будет достигнуто при

Коли монотонно убывает на [0;1], то она будет монотонно убывать и на

На заключительном этапе исследования задачи найдем решение неравенства относительно а.

Ответ:

Заметим, что левая часть заданного уравнения имеет смысл только при

Пусть Тогда задача будет переформулирована так: найти все значения а, при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку

Заметим также, что уравнение (1) имеет вид: Коли это так, то заменим его более простым уравнением

доказав равносильность уравнений (1) и (2) на и где — множество разрешенных значений t в уравнении (1),  — множество разрешенных значений t в уравнении (2). .

Если уравнение (2) имеет решение то будет выполнено равенство Тогда уравнение (1) обратится в равенство Следовательно, любое решение уравнения (2) также является решением уравнения (1).

Для полноты наших суждений докажем еще одно утверждение: если некоторое, число отличное от таково, что и не является решением уравнения (2), то оно также не будет являться решением уравнения (1).

Такое возможно лишь в двух случаях: либо при либо при

Пусть Тогда аналогично, если то Значит, число при корнем уравнения (1) не является.

Из сказанного следует, что множество корней уравнений (1) и (2) полностью совпадают, т. е. уравнения (1) и (2) являются равносильными.

Следовательно, мы вправе еще раз переформулировать задачу: найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение на промежутке

Рассмотрим смешанную систему

Ясно, что параметр а, будучи непрерывной функцией от t, достигает наименьшего значения при А наибольшее его значение равно нулю. Параметр принимает все значения из промежутка где

Замечания:

1. Здесь доказательство того, что уравнения (1) и (2) равносильны, является обязательным, так как уравнения и вообще говоря, не обязаны быть равносильными.

2. Покажем сказанное в п.1 замечаний на конкретном примере. Предположим, что произведена аналогичная замена уравнения на уравнение

Числа и являются корнями уравнения тогда как эти числа корнями уравнения не являются. А этого достаточно для того чтоб считать названные два уравнения неравносильными.

Ответ:

При уравнение примет вид:

Покажем, что правая часть последнего уравнения отрицательна. Действительно, (неравенство очевидное). Следовательно, среди искомых значений а числа 0 нет.

Приведем заданное уравнение к виду

Рассмотрим функции:

Функция квадратичная, поскольку

Вычислим четверть дискриминанта квадратного трехчлена.

Итак, старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, четверть дискриминанта равна нулю, значит, функция обращается в нуль при единственном значении х, а при остальных же значениях х

Теперь рассмотрим функцию Ясно, что эта функция обращается в нуль при при других же значениях x, т.е. при

Для того чтобы заданное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы равенство выполнялось хотя бы при одном значении x. Таким значением будет число 2. И оно единственное. Искомое значение а будет обнаружено, если решить уравнение относительно а.

Дополнительное пояснение.

Геометрическая интерпретация ситуации как-то выглядит так:

Ответ:

Сделаем замену Уравнение примет вид число корней при этом не изменится. Сразу заметим, что при есть корни и поэтому не подходит. При других a не является корнем. Теперь уравнение распадается на два случая.

при положительных t и при отрицательных t.

Если то у первого уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них положительный. При этом у второго уравнения дискриминант корни есть, их сумма произведение значит, они оба положительны, и нам не подходят. Итак, есть ровно один корень.

Если то у второго уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них отрицательный. При этом у первого уравнения дискриминант Если у него есть корни, их сумма 2a, произведение значит, они одного знака — того же, что и число a. Поэтому все нам подходят (если даже есть корни, то они отрицательны), а из подходят лишь те, для которых то есть

Ответ:

Вариант 1.

Преобразуем заданное уравнение.

С учетом ограниченности функции косинус и в соответствии с условием задачи будем иметь:

Искомыми целочисленными значениями параметра a будут числа:

Ответ: {−2; −1; 0; 1; 2}.

Вариант 2.

Преобразуем заданное уравнение.

Введем новую переменную. Пусть Тогда

В таком случае заданное уравнение не будет иметь решения, если будут выполнены условия: или

Рассмотрим квадратичную функцию

В нашем случае достаточным условием отсутствия решений заданного уравнения является или (), или одновременное выполнение трех условий : Для нахождения интересующих нас значений a, удовлетворяющих этим трем условиям, решим систему неравенств:

Ясно, что заданное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, при всех значениях а, удовлетворяющих условию

Искомыми значениями a будут: -2; -1; 0; 1; 2.

Ответ: {-2; -1; 0; 1; 2}.

Если то уравнение принимает вид и имеет один корень.

В остальных случаях представим график обеих частей уравнения.

График левой части — прямая, параллельная прямой

График функции  — два луча с общим началом в точке и угловыми коэффициентами

Поэтому график правой части — два луча (с началами в точках и угловыми коэффициентами ) и два отрезка, соединяющих те же точки с точкой

Из графика правой части видно, что прямая, параллельная имеет с ним ровно три общих точки тогда и только тогда, когда проходит либо через либо через Осталось выяснить, при каких a это происходит.

В первом случае откуда (уже разбиралось) либо (подходит)

Во втором случае откуда (уже разбиралось) либо (подходит).

Ответ: или

Рассмотрим заданное уравнение при

Ясно, что при оно примет вид: откуда Таким образом, при заданное уравнение имеет единственное решение.

При дальнейших исследованиях из числа искомых значений параметра а мы будем исключать значение

Произведем замену переменной. Пусть Тогда Подставив полученное значение x в заданное уравнение, получим новое уравнение:

Поскольку для монотонной функции при каждому значению t соответствует единственное значение x, то задачу можно переформулировать так:

найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

1. Если то В таком случае уравнение (*) будет иметь вид: или (1)

Последнее уравнение будет иметь единственное решение при условии, что т. е.

При значениях для любого а, отличного от 1 . А это значит, что при любом значении уравнение (1) имеет два различных действительных корня. Обнаружить эти корни легко по теореме Виета. Ими будут: 1 и

Корень, равный , заведомо удовлетворяет условию

Найдем значения а, при которых второй корень, равный также будет удовлетворять условию

Эти значения а, очевидно, также обязаны удовлетворять неравенству т. е. неравенству поскольку свободный член уравнения (1) при тех же значениях a непременно должен быть неотрицательным.

Таким образом, при уравнение (1) будет иметь два различных действительных корня.

Так как при корень отрицательный, то уравнение (1) при будет иметь единственное решение удовлетворяющее неравенству

Поскольку при уравнение (1) уже имеет два различных действительных корня, то дальнейшее исследование уравнения (*) для значений становится излишним.

Если то Тогда уравнение (*) будет иметь вид: или (2)

Найдем дискриминант уравнения (2).

Заметим, что прямая является осью симметрии квадратичной функции Следовательно, при функция будет возрастающей. Поскольку то дискриминант уравнения (2) при будет положительным. А это значит, что при уравнение (2) имеет два различных действительных корня.

Так как при свободный член уравнения (2) становится отрицательным, то лишь один из корней уравнения (2) будет удовлетворять условию

Теперь докажем, что при уравнение (2) решений, удовлетворяющих условию иметь не будет. Действительно, У последнего уравнения действительных корней нет.

Итак, заданное уравнение имеет единственное решение при или

Замечание.

В процессе решения задачи удобно воспользоваться таблицей, которая поможет контролировать полноту исследований.

При уравнение (*) решений не имеет.

Ответ: 0;1.

Преобразуем уравнение

Ясно, что если x является корнем при двух различных значениях параметра, то выражения для этих значений одинаковы. Исследуем для начала, при каких значениях a функция принимает одно и то же значение несколько раз.

Ее производная поэтому она имеет максимум при (значение 9) и минимум при (значение ).

Значит, она принимает значения в промежутке по три раза, а сами по два раза.

Поэтому задача свелась к такой — при каких x выполняется или

Первое, очевидно, невозможно — при имеем при прочих x имеем

Второе возможно — очевидно, принимает все положительные значения.

Осталось выяснить, когда то есть Это происходит при

Ответ:

Перепишем заданное уравнение так:

Поскольку выражения неотрицательны при любых допустимых значениях х и а, то их сумма равна нулю только и только тогда, когда одновременно выполняются два условия: и А это значит, что

При будем иметь:

Ответ: 0; 1.

Теперь проверим, удовлетворяют ли полученные корни условию

Пусть

Тогда

Но таких значений а, при которых выполняются условия последней системы, нет. Значит, является посторонним корнем (корнем уравнения-следствия).

Пусть Тогда:

Таким образом, является единственным корнем исходного уравнения, и он имеет место при

Ответ:

Приведём другое решение:

Рассмотрим функцию

Для того, чтобы система имела ровно одно решение большее 2, необходимо и достаточно выполнение условия Тогда

Система имеет корень при При этом второй корень уравнения не является решением системы.

Ответ:

Очевидно, что заданное уравнение имеет смысл при всех значениях

Преобразуем его.

Если уравнение (*) примет вид: 0 = 6. Следовательно, при уравнение (*) решений не имеет. Для

Решим противоположную задачу: найдем все значения параметра а, при которых уравнение (*) имеет решения. Таковыми будут значения а, удовлетворяющие неравенству

Таким образом, уравнение (*), следовательно, и исходное уравнение не будут иметь решений при и при

Ответ:

Найдем ограничения на а.

Заданное уравнение расщепляется на два более простых уравнения:

Решим уравнение (1).

(Заметим, что полученные результаты удовлетворяют найденным ограничениям параметра а).

Теперь рассмотрим уравнение (2). Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения относительно х.

Введем функцию

Нам необходимо найти такие значения параметра а, при которых уравнение (*) имело бы один неотрицательный корень, другой отрицательный, но равный или меньший Для этого необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие: т. е.

Найдем и

Осталось решить неравенство (**).

Поскольку то на разрешенных значениях параметра а

То есть

Объединяя полученный результат с решением уравнения (1), получим:

При левая часть уравнения (2) может принять любые значения, следовательно и те, которые дают корни, о которых говорится в условии задачи.

Значение в дополнительном исследовании не нуждается, поскольку удовлетворяет необходимому и достаточному условию (**).

Ответ:

Пусть у заданного уравнения имеются корни m и −m, причем

Тогда будем иметь равенства:

Последнее равенство мы вправе переписать так:

Вычитая равенство (***) из равенства (*), получим:

Рассмотрим равенство

Покажем, что в последнем равенстве Действительно, если то тогда как Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства на Получим: Это равенство имеет место при

Рассмотрим левую часть последнего равенства как функцию f(m), правую часть — как функцию g(m).

На есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= возможно лишь при единственном значении m, т. е. при Однако такое значение m условию задачи не удовлетворяет. Отсюда вывод: в контексте предложенной задачи

Но тогда непременно должно выполняться равенство Коли это так, то равенство (***) примет вид: что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: и

Заметим, что среди корней исходного уравнения есть такая пара значений m, например, и при которых условие выполняется как при так и при

Теперь нам осталось найти такие значения параметров a и b, которые удовлетворяют системе уравнений

Так как

(последнее не имеет смысла).

Полученным значениям а будут соответствовать значения и в соответствии с равенством

Таким образом, мы получили упорядоченные пары: (-2; -1) и (2; 1). Однако, они нуждаются в проверке их пригодности, так как в процессе решения был переход от равенства к равенству (не обязательно равносильный). При подстановке пары (2; 1) в систему получим верные равенства: Такие же получим результаты, если проверим пару (-2; -1).

Ответ: (-2; -1), (2;1).

Сделаем замену и получим квадратное относительно t уравнение На искомом интервале уравнение вида имеет либо 2 решения при , либо одно при y=1 или -1, либо 3 решения при y=0. Таким образом, чтобы исходное уравнение имело 3 решения на данном отрезке, необходимо, чтобы одним из корней квадратного уравнения было число 1, 0 или -1. Заметим, что в случае 1 и -1, нам еще нужен второй корень из множества , а в случае 0, нужно, чтобы других корней из множества у квадратного уравнения не было. Подставляя 0, 1 и -1 в квадратное уравнение, получим совокупность

Из первого уравнения Для каждого из трёх значений проверяем второй корень уравнения (если он есть) и получаем, что условиям задачи удовлетворяют только два значения:

Решая третье уравнение, получаем После проверки (с помощью теоремы Виета найдём второй корень) остаётся только одно значение

Предположим, что второе уравнение имеет некоторое решение. Тогда второй корень квадратного уравнения, найденный по теореме Виета, равен и должен находиться в интервале (-1;1). Но в этом случае левая часть второго уравнения совокупности положительна при , значит, решать второе уравнение не имеет смысла.

Ответ:

, следовательно, , следовательно,

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:

С учётом ограничений на x получим решение первого уравнения:

Из второго уравнения:

С учётом ограничений на а получаем 2 значения:

Ответ:

Если то заданное уравнение примет вид: что имеет два корня: −1 и 1, а это не удовлетворяет условию задачи.

При дальнейших исследованиях мы будем заведомо иметь в виду, что

Введем новую переменную. Пусть Тогда заданное уравнение имеет вид:

В соответствии с теоремой Виета корнями последнего уравнения являются числа: 1 и Следовательно, или

Ответ:

Рассмотрим два случая.

1) Обозначая получим

Поскольку на нашем промежутке возрастает, t принимает все значения в промежутке Это дает следующее число корней:

При нет корней

При прочих a есть единственный корень.

2) Обозначая получим

Поскольку на нашем промежутке убывает, t принимает все значения в промежутке Это дает следующее число корней:

При два корня

При прочих a есть единственный корень.

Сочетая полученные ответы, видим, что единственный корень возможен только при

Ответ:

Заметим для начала, что уравнение имеет на указанном промежутке 2 корня при 1 корень при не имеет корней при прочих b.

Возможны следующие ситуации:

1) Уравнение имеет два корня, а уравнение корней не имеет.

Тогда Чтобы второе уравнение не имело корней, a не должно попасть в промежуток

Итого:

2) Уравнение корней не имеет, а уравнение имеет два корня.

Тогда Но при таких a уравнение тоже имеет корни.

3) Оба уравнения имеют по одному корню и эти корни не совпадают, что невозможно.

4) Каждое уравнение имеет по два корня, и эти корни совпадают. Тогда и каждое уравнение превращается в , которое имеет на указанном промежутке два корня

Ответ:

Преобразуем уравнение

Построим эскиз графика функции Для этого построим гиперболу и отразим часть графика лежащую ниже оси абсцисс в верхнюю полуплоскость.

Значит, асимптотами гиперболы являются прямые и

Графиком функции является "галочка" с ветвями вниз − два луча выходящие из точки

При отрицательных значениях параметра уравнение не имеет корней (левый рисунок). При увеличении значения параметра , количество корней уравнения будет меняться от нуля до четырёх (сначала один корень, потом два, три и, наконец, четыре). При этом три решения будет только в одном случае, когда луч, задаваемый уравнением , касается правой ветви гиперболы (правый рисунок).

Случай касания прямой и гиперболы соответствует нулевому дискриминанту, получившегося квадратного уравнения:

Значение нас не устраивает (это случай касания прямой и левой ветви гиперболы ), а значение нам подходит. Получаем, что при уравнение имеет три корня.

Ответ:

Приведем другое решение:

Исследуем функцию на промежутках

1. Пусть Тогда:

Числитель этой дроби отрицателен при любом значении х, поскольку Знаменатель на положителен. Следовательно, для любого А это значит, что критических точек функция на рассматриваемом промежутке не имеет, функция там строго убывающая.

2. Пусть Тогда:

Следовательно, при при А это значит, что при функция y убывает, при она возрастает. Точка есть точка минимума.

Итак, — минимум функции.

3. Пусть Тогда:

Числитель этой дроби положителен при любом значении х, поскольку Знаменатель также положителен на Значит, на А это значит, что критических точек функция на рассматриваемом промежутке не имеет, функция там строго возрастающая.

4. Пусть Тогда:

Следовательно, что при при А это значит, что при функция убывает, при она возрастает. Точка есть вторая точка минимума.

Таким образом, 2 — второй минимум функции.

Множество значений функции нетрудно заметить, есть

Функция постоянная.

Суждения о количестве корней заданного уравнения в зависимости от значений параметра а можно получить исходя из графического представления двух рассмотренных функций (см. ниже).

Ясно, что заданное уравнение:

при корней не имеет;

при имеет единственный корень;

при имеет ровно два корня;

при имеет ровно три корня;

при имеет ровно четыре корня.

Ответ: 2.

Преобразуем уравнение

Очевидно это возможно только при

Тогда

откуда

Случай 1. a = b. Тогда ,

Случай 2. a = 2b. Тогда ,

Итак, решение у системы есть только при a = b = 3, a = b = −3, , И это решение всегда x = 3.

Ответ: a = b = 3, a = b = −3, ,

Преобразуем уравнение

Исследуем теперь функцию

Если то

График этой функции — парабола с вершиной при x = 2, поэтому f(x) убывает на всем промежутке и f(−1) = 2.

Если то

График этой функции — парабола с вершиной при поэтому f(x) возрастает до и убывает после него, при этом

Если то

График этой функции — парабола с вершиной при x = 1, поэтому f(x) убывает на всем промежутке и f(2) = −7.

Если то График этой функции — парабола с вершиной при x = 2, поэтому f(x) возрастает на всем промежутке и f(2) = −7.

Итак, f(x) совпадает с всюду кроме отрезка То есть при больших по модулю x ее график — парабола ветвями вверх.

Теперь можно определить число решений.

При a = −7 одно решение.

При −7 < a < 2 два решения.

При a = 2 три решения.

При четыре решения

При три решения

При два решения

Ответ: a = 2,

Поскольку и то оба логарифма неположительны. С другой стороны, и неотрицательны. Поэтому все выражение неположительно и может быть равно нулю только если в каждом произведении есть нулевой множитель. Это дает два варианта.

1) Тогда можно взять x = 1.

2) a любое другое число. Тогда необходимо то есть x = 0. Но такое x не входит в ОДЗ.

Ответ:

Сразу заметим, что одним из корней уравнения при любом a является Поэтому вопрос задачи сводится к такому — при каких a уравнение имеет единственный корень? Исследуем функцию

При получим Эта функция убывает на всем данном промежутке и принимает на нем значения от до 1. То есть из промежутка

При получим Итак, на всем этом промежутке функция принимает значение −1, естественно, бесконечно много раз.

При получим Итак, на всем этом промежутке функция принимает значение 1, естественно бесконечно много раз.

Итак, функция принимает по одному разу значения в промежутке бесконечно много раз принимает значения и не принимает других значений.

Ответ:

Заметим, что в левой части уравнения записана непрерывная функция, линейная на промежутках, не cодержащих точек или причем при значения функции неограниченно возрастают (при положительных x это очевидно, при отрицательных функция упрощается до что тоже велико при сильно отрицтельных x). Поэтому если она не принимает какого-то значения (а именно значения a), то ее значения всегда либо больше него, либо меньше (второе невозможно).

Для того, чтобы все ее значения были больше a, необходимо и достаточно, чтобы ее наименьшее значение было больше a.

Но наименьшее значение она, очевидно, принимает в одной из точек, где меняет знак подмодульное выражение (между такими точками она линейна и потому монотонна). Итак, нам нужно выполнение двух условий (если мы заодно проверим точку, в которой нет наименьшего значения, хуже от этого не станет).

Случай 1).

Верно при

Случай 2)

Получаем

Итак, окончательный ответ

Ответ:

Преобразуем уравнение

Корнями уравнения являются числа Они не могут отличаться друг от друга на Они отличаются на от чисел вида косинусы которых равны поэтому такие числа будут корнями исходного уравнения при

Наконец, возможна ситуация, когда два корня уравнения отличаются на Поскольку точки, изображающие корни этого уравнения на тригонометрической окружности, симметричны относительно горизонтальной оси, это возможно только если то есть при

Ответ:

Заметим, что одним из корней является x = 0, а также если число x является корнем уравнения, то и число — тоже.

Поэтому корни этого многочлена: −2d, −d, 0, d, 2d, причем Тогда имеем

Отсюда

Подставим это выражение в первое уравнение системы.

Ответ: a =  −2

Преобразуем уравнение

Очевидно, левая часть не меньше двух, а правая — не больше двух. Решение уравнения обязано делать обе части равными двум. Значит, при подстановке корня уравнения (если он есть) будем иметь откуда Также откуда Нетрудно видеть, что при таких x и a уравнение выполняется.

Ответ:

Преобразуем уравнение

Это квадратное уравнение, больше двух корней оно иметь не может, а два корня имеет тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен.

То есть

Ответ:

Преобразуем уравнение

Для выполнения утверждения задачи требуется и

Ответ

Перепишем уравнение в виде Сделав в нем замену мы получим квадратное уравнение причем каждый его корень на промежутке даст две бесконечных серии решений, а каждый корень, равный  — одну серию.

Разберем все возможности.

1) У уравнения есть корень то есть откуда То есть это уравнение Его корни дают решения и это действительно арифметическая прогрессия.

2) У уравнения есть корень то есть откуда То есть это уравнение Его корни и

Если или то уравнение не имеет корней, поэтому все корни исходного уравнения это Это действительно арифметическая прогрессия.

Если то этот случай уже разобран.

Если то и новых корней уравнение не дает, поэтому все корни исходного уравнения это Это действительно арифметическая прогрессия.

Если же то уравнение дает еще по 2 корня на каждом промежутке длины Поэтому разность прогрессии должна составлять Значит, поэтому В этом случае все корни исходного уравнения Это действительно арифметическая прогрессия.

3) Корней нет, при этом есть один корень на интервале Он даст по два корня исходного уравнения на каждом промежутке длины поэтому разность прогрессии должна быть В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны и Тогда откуда или

Случай уже разобран, он не подходит.

При имеем уравнение или Уравнение корней не имеет, поэтому такое a подходит.

4) Корней нет, при этом есть два корня на интервале Они дадут по два корня исходного уравнения на каждом промежутке длины поэтому разность прогрессии должна быть В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны

Тогда сумма корней уравнения должна быть равна 0, и мы получаем уже разобранный случай (корни там совсем не такие, но это уже неважно)

Ответ:

Рассмотрим функцию на промежутке (вне этого промежутка функция либо не определена, либо дает те же значения). Ее производная обнуляется при и больше нигде, поэтому наибольшее и наименьшее значение эта функция принимает при x = 0, Поскольку функция непрерывна, то ее множество значений будет

Ответ: при

Сделаем замену Очевидно, если x было корнем уравнения, то и будет его корнем.

Поэтому единственный корень может быть только если то есть

Тогда уравнение превращается в и выполняется при

Осталось выяснить, сколько корней будет при этих значениях a.

1) Тогда имеет единственный корень.

2) Тогда При значение будет при значение будет поэтому на отрезке есть еще корень.

3) Тогда Очевидно, оба слагаемых неотрицательны, причем оба равны нулю только при

Ответ:

Решим уравнение:

Первое уравнение имеет два решения, если , одно решение, если и не имеет решений во всех остальных случаях.

Второе уравнение имеет два решения, если , одно решение, если и не имеет решений во всех остальных случаях.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня, если

или если Решая совокупность и уравнение, получаем ответ.

Ответ:

Чтобы у уравнения были корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. Заметим еще сразу, что иначе не определен.

Вычислим дискриминант и решим неравенство.

Если то получаем равенство. Если то первая скобка положительна, значит, и вторая должна быть неотрицательна, то есть

Ответ:

Заметим, что на указанном отрезке принимает все значения из по два раза, а значение 1 — один раз.

Преобразуем уравнение

Первый множитель имеет на указанном промежутке два корня. Значит, второй должен иметь один корень (совпадать корни двух множителей не могут если только если же то второй множитель не добавит корней). То есть

Ответ:

Подставляя x = 0, получаем Левая часть неположительна, правая неотрицательна, поэтому они могут совпадать только при b = 0.

Тогда тождество принимает вид Очевидно, a = 0 подходит.

Если , то обе части неположительны, при этом наименьшее значение правой части , а левой −1, откуда a = 1. Оно подходит.

Если , то одна часть неположительна, а другая неотрицательна, при этом не всегда равны нулю. Это невозможно.

Ответ: a = 0 или a = 1, b = 0.

Заметим для начала, что уравнение имеет не более одного корня на этом промежутке, а уравнение имеет конечное число корней на любом конечном отрезке (между любыми двумя корнями функции лежит корень ее производной а между любыми двумя ее корнями лежит корень ее производной которых уж точно конечное число на любом отрезке). Кроме того, для всех корней уравнения, что может давать дополнительные ограничения на отрезок, где мы ищем решения.

Разберем несколько случаев.

1) Тогда уравнение корней не имеет, поскольку левая часть всегда не меньше Уравнение имеет единственный корень который лежит на нужном промежутке.

2) Тогда уравнение не имеет корней на указанном промежутке, более того — на всем промежутке. Поэтому надо иссследовать только корни уравнения Очевидно, если x корень данного уравнения, то  — тоже его корень. Более того, у него не может быть корней на поскольку при имеем Значит, все его корни на промежутке обычно разбиваются на пары и поэтому их четное число. Единственное исключение — если один из этих корней равен нулю, тогда Это еще один ответ.

3) Тогда работает логика предыдущего случая за исключением того, что появляется дополнительный корень без пары поэтому корней также нечетное количество.

4) Тогда уравнение имеет четное число корней на отрезке уравнение имеет корень Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение на интервале Докажем, что этих корней нет.

Рассмотрим функцию При имеем поэтому При имеем поэтому

5) Тогда уравнение имеет четное число корней на отрезке один из которых совпадает с корнем уравнения

6) Тогда уравнение имеет четное число корней на интервале уравнение имеет корень Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение на отрезке Докажем, что этих корней нет.

Рассмотрим функцию При имеем поэтому При имеем поэтому

Ответ:

Возьмем a = 0. Тогда получим (независимо от x). Поэтому

Если b = 1 то возьмем a = −1. Получим что невозможно — причем равенство одновременно не достигается.

Если же b = −1, то при любом a корнем этого уравнения является x = 0.

Ответ: b = −1.

Если то можно выбрать и уравнение не будет иметь корней:

Если то при любом b можно выбрать Такое a подходит.

Если то можно выбрать и уравнение не будет иметь корней:

Ответ:

Поскольку при получим так что корни этого уравнения можно сразу добавить в ответ. При прочих x можно переписать уравнение в виде

Выражение в правой части может принимать все значения в промежутке поэтому вопрос свелся к поиску решений неравенства

Заметим, что корни уравнения попали в эти промежутки.

Ответ: или

Ясно, что всегда является корнем этого уравнения, а другие целые числа его корнями не являются. Поэтому можно поделить уравнение на У полученного уравнения должно не быть корней. Обозначим Заметим, что на промежутке эта функция непрерывна, причем при и при Поэтому t принимает все вещественные значения.

Значит, уравнение не должно иметь корней. То есть

Ответ:

Обозначим и перепишем уравнение в виде

Сразу заметим, что x = −1 корнем этого уравнения не будет.

Разберем два случая.

Случай 1. Поделим тогда обе части уравнения на Получим

Обозначая получаем

Заметим, что при t принимает все значения из промежутка причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке имеет это квадратное уравнение.

Случай 2. Поделим тогда обе части уравнения на Получим

Обозначая получаем

Заметим, что при t принимает все значения из промежутка (−1; 0), причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке (−1; 0) имеет это квадратное уравнение.

Итак, задача свелась к такой — при каких значениях параметра a уравнение имеет ровно один корень на множестве

Во-первых, это может произойти, если его дискриминант равен нулю. Это невозможно при неотрицательных a.

Во-вторых, это может произойти, если его дискриминант положителен, но только один корень лежит в нужном множестве. Эти корни равны

Если a = 0, то корни равны , и нам не подходят.

Если то поэтому и , нам подходит.

Если то поэтому и нам не подходит.

Если то , поэтому и , нам подходит.

Итак,

Ответ:

Преобразуем уравнение

Правая часть неотрицательна, левая — неположительна. Поэтому они могут быть равны только если

то есть при некотором целом k.

Итак, уравнение должно иметь ровно два корня.

Заметим, что если x является его корнем, то и тоже является. Поэтому, во-первых, не должно быть корнем (иначе корней будет нечетное количество), а во-вторых, уравнение должно иметь ровно один положительный корень.

Случай 1. Корень вообще единственный. Тогда откуда и Корень

Случай 2. Корней два, но они разных знаков. Тогда При целом k это возможно лишь при то есть при Уравнение действительно имеет ровно один положительный корень.

Случай 3. Корней два, один из них равен нулю. Тогда что невозможно при целом k.

Ответ:

Очевидно, если a удовлетворяет этому условию, то и ему тоже удовлетворяет. Будем в дальнейшем считать, что

Перепишем уравнение

Возможны два случая:

1) У двух скобок есть общий корень. Тогда При корней нет вообще, при имеем , и уравнение получается у него действительно три корня.

2) У одной из скобок два различных корня, а у другой только один.

Дискриминанты скобок равны и Один из них должен быть положителен, а другой нулем. Первый больше, значит, он положителен.

Итак, нам подходит положительный корень второго —

Ответ:

Преобразуем заданное уравнение.

Поскольку будем иметь:

Разобьем это неравенство на две системы неравенств:

Заметим, что для каждого так как

Каждую из этих систем будем рассматривать отдельно.

Рассмотрим систему (1).

Решим первое её неравенство.

Решим второе неравенство.

Решением системы неравенств (1) является множество

Теперь рассмотрим систему (2).

Решим первое неравенство этой системы.

Решим второе неравенство той же системы.

Итак, решением системы (2) будет множество

Ответ:

Решение задачи проведем с помощью исследования расположения корней квадратного трехчлена.

Имеем: Введем новую переменную: пусть

Тогда Как было показано выше, квадратный трехчлен относительно t при всех положителен. Ветви параболы, т. е., графика функции направлены вверх.

Найдем значения t, при которых Их удобно искать, решив 3 системы неравенств. Если — абсцисса вершины параболы, то:

1)

Система несовместна.

2)

Система несовместна.

3)

Таким образом, только при Поскольку при остальных значениях квадратный трехчлен относительно t будет иметь хотя бы один действительный корень, удовлетворяющий условию то искомым множеством значений а будет множество

Ответ:

Перепишем заданное уравнение так:

Далее:

Введем новую переменную. Пусть тогда Исходя из контекста задачи потребуем, чтобы это уравнение относительно t имело два различных действительных корня. Это условие выполняется, если дискриминант квадратного трехчлена будет положительным: Очевидно, последнее неравенство истинно при всех значениях h,отличных от нуля.

Преобразуем полученные уравнения.

Потребуем, чтобы уравнение (1) имело два различных действительных корня. Для этого необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие т. е.

Аналогично будет и с уравнением (2).

Для того чтобы заданное уравнение имело 4 действительных корня, пересечем результаты (*) и (**). Получим искомые значения h:

Более компактно этот результат можно записать так:

Ответ: ;

Запишем первое уравнение так: Найдем его больший корень:

Заметим, что так как Следовательно,

Таким образом,

Пусть второе уравнение имеет корни, равные и Выразим квадрат разности этих корней так, чтобы в дальнейшем было удобно использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения.

В соответствии с теоремой Виета будем иметь:

Найдем разность большего корня первого уравнения и квадрата разности корней второго уравнения : И эта разность по условию задачи равна или

Решим уравнение относительно а.

Ответ:

Заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Перепишем их так:

Введем новую переменную. Пусть Ясно, что следовательно, Имеем два алгебраических уравнения:

Для получения нужного результата рассмотрим следующие случаи:

I. Уравнение (1) имеет два подходящих различных корня, тогда как уравнение (2) будет иметь только один подходящий корень.

II. Уравнение (2) имеет два подходящих различных корня, а уравнение (1) имеет только один подходящий корень.

Случай I. Рассмотрим функцию Найдем ее четверть дискриминанта.

Полученный квадратный трехчлен положителен при всех значениях так как

Для того чтобы уравнение (1) имело два различных корня, каждый из которых не меньше 1, необходимо и достаточно выполнение еще двух условий:

Решим систему неравенств.

Уравнение (2) будет иметь единственный подходящий корень в двух ситуациях:

1. Четверть дискриминанта квадратного трехчлена окажется равной нулю.

Полученное значение не подходит, поскольку

2. При положительном знаке четверти дискриминанта один из нулей функции окажется не меньше 1, а другой — строго меньше 1. Последнее будет иметь место, если будет выполнено условие Однако, при любом значении так как

Таким образом, в случае I мы получаем единственное подходящее значение

Случай II. Потребуем, чтобы уравнение (1) имело единственный подходящий корень, а уравнение (2) — два различных подходящих корня.

То, что четверть дискриминанта уравнения (1) положителен при всех значениях было показано выше. Следовательно, остается единственный вариант: число 1 на числовой прямой должно находиться между корнями квадратного трехчлена, т.е. должно выполняться неравенство Решим неравенство:

Чтобы уравнение (2) имело два подходящих различных корня необходимо и достаточно, чтоб было выполнено условие: То, что было показано выше. Следовательно осталось решить систему

Объединив результаты, полученные в двух случаях, будем иметь:

Ответ:

В контексте данной задачи ограничений на х не просматриваются, а на значения параметра а они видны. Найдем их.

Преобразуем заданное уравнение так:

Пусть Тогда заданное уравнение примет вид:

Заметим: при будет выполнено неравенство и так как то и

Кроме того, левая часть равенства (*) представляет из себя произведение двух положительных и строго возрастающих функций. Правая часть — аналогично произведение двух положительных и строго возрастающих функций.

Между переменными u и v может быть только одно из трех отношений: либо либо либо

Если то в соответствии со сказанным выше получим:

что невозможно.

Если же то

что также невозможно.

Значит, верно единственное отношение:

Таким образом, мы приходим к результату: Это значит, что

Таким образом, допустимые значения параметра а, по сравнению с указанным выше, сузились до отрезка

Теперь рассмотрим уравнение

Приведем его к виду:

Исследуем уравнение на количество действительных корней.

В зависимости от значений t количество корней у уравнения будет различным.

Итак,

Если что имеет место при то уравнение будет равносильным уравнению которые имеет ровно два различных корня.

Следовательно, при т. е. при или исходное уравнение также имеет два различных корня.

Если же то

Из системы (**) ясно, что при уравнение решений иметь не будет, тогда как уравнение будет иметь ровно два действительных корня.

Следовательно, при выполнении условия

Полученный результат свидетельствует о том, что при исходное уравнение имеет два различных действительных корня.

Вернемся к системе вновь (**) и заметим, что при и первое уравнение, и второе уравнение совокупности (дизъюнкции двух предикатов) будет иметь ровно по 2 различных действительных корня.

А это значит, что при исходное уравнение имеет более двух действительных корней.

Отметим также, что полученные значения параметра а являются подмножествами множества допустимых значений для параметра, полученных выше.

Ответ:

Введем новые переменные.

Пусть Тогда уравнение примет вид:

Потребуем, чтобы оно имело два различных и положительных действительных корня. Ни один корень, равный нулю, недопустим. В противном случае среди корней заданного уравнения будут по меньшей мере два корня, равные 0. Тогда и все остальные члены последовательности, являющейся арифметической прогрессией, обязаны быть равными нулю. Такая ситуация возможна лишь при одновременном выполнении двух условий: и что невыполнимо ни при каких значениях m. Следовательно,

Уравнение (*) будет иметь два различных действительных корня при выполнении условия т. е.

А с учетом того, что :

Пусть — меньший корень, — больший корень уравнения (*). И пусть Тогда корнями заданного уравнения будут: Очевидно, в арифметической прогрессии они должны идти в последовательности либо в последовательности: (в случае возрастающей прогрессии), либо (в случае убывающей). Выберем случай возрастающей арифметической прогрессии. В таком случае согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии должно выполняться условие: или Такое же равенство получим, если проверим условие То есть

Ясно, что

Так как то ; При этом

Итак, имеем:

Перейдем к параметру а.

Однако, полученные значения нуждаются в проверке.

Ответ:

1. Пусть тогда Будем иметь:

Если то что невозможно, решений нет. Если же то

Поскольку нас интересуют значения х, удовлетворяющие неравенству решим неравенство

2. Пусть тогда Далее: Если то что также невозможно, решений нет. Если то Решим неравенство

Таким образом, исходное уравнение при корней не имеет, при будет иметь ровно один корень, равный при — более одного корня.

Ответ:

Заметим, что уравнение имеет смысл для положительных значений переменной и для отличных от 1 положительных значений параметра. Запишем уравнение в виде и рассмотрим функцию При каждом допустимом значении параметра функция f непрерывна на всей области определения, причём для любых функция f является убывающей, а для любых — возрастающей. Поэтому для каждого допустимого значения параметра уравнение имеет не более одного решения. Из непрерывности функции следует, что корень уравнения находится в промежутке [1; 2] тогда и только тогда, когда Применяя теорему о знаках, имеем:

откуда или

Ответ:

Преобразуем уравнение

Правая часть неотрицательна, левая — неположительна. Поэтому они могут быть равны только если Одним подходящим значением в любом случае будет Других по условию быть не должно. То есть если то при всех целых ненулевых k. То есть То есть — иррациональное число.

Ответ:

Решение 1.

Возведем уравнение в куб. Получим

Заменим выражение в скобках, используя исходное уравнение.

Отсюда видно, что одним из корней является (он действительно подходит в исходное уравнение). Поделим на x:

В дальнейшем у этого уравнения должно быть ровно три ненулевых корня.

Решение 2.

Заметим, что всегда будет корнем данного уравнения. Поделим уравнение на обозначим и потребуем, чтобы уравнение имело ровно три корня.

Исследуем для начала функцию Это четная функция. Ее производная при будет при Значит, функция убывает на а по непрерывности можно даже написать, что она убывает на Очевидно, при больших t имеем

поэтому при

Итак, на положительной полуоси функция убывает и принимает все значения из промежутка ровно по одному разу.

На отрицательной происходит то же самое из-за четности функции.

Вернемся теперь к исходной задаче. Обозначая получаем как раз уравнение которое имеет единственный корень при имеет два корня (отличающихся знаком) при и не имеет корней при прочих b. Отсюда при или корней у уравнения нет вовсе.

Пусть Тогда нужно чтобы то есть У этого уравнения единственный корень.

Пусть, наконец, и Нас интересует число корней уравнения Выясним для этого, как устроена функция Возьмем ее производную Значит, при и при Поэтому функция ведет себя так — принимает все вещественные значения по одному разу на промежутке , принимает дважды все положительные значения большие на промежутке , принимает один раз значение и не принимает других значений на этом промежутке.

Будем считать что Тогда уравнение имеет ровно один корень, значит, уравнение должно иметь ровно два корня. Один из них точно будет на промежутке , значит, второй должен быть на промежутке , причем быть там единственным корнем. Это возможно только если этот корень и В этом случае корней получается ровно три, а в других случаях не получается.

Итак,

Ответ:

Преобразуем исходное уравнение так:

Заданное уравнение будет иметь ровно один корень, если:

а) Дискриминант уравнения * равен нулю и при этом

б) Дискриминант уравнения (*) больше нуля, и при этом один из корней этого уравнения равен —

Найдем дискриминант D уравнения (*).

Далее:

а)

Проверим пригодность полученных значений а.

При будем иметь: Однако, это уравнение решений не имеет, значит, 0 не относится к числу искомых значений параметра.

При

Итак, 3 — искомое значение параметра.

2) Неравенству удовлетворяют все значения а, за исключением 0 и 3. То есть уравнение (*) имеет два различных действительных корня при всех значениях а, отличных 0 и 3. Но нас интересует такое значение а, при котором один из корней упомянутого уравнения равен — a. Обозначим его x₁. Другой же корень пусть будет x₂, причем x₁ ≠ x₂. Тогда в соответствии с теоремой Виета:

т.е.

Как было показано выше, значение a = 0 не подходит. Подходящим значением а является число 1. Убедимся в этом.

При a = 1 имеем:

Итак, при a = 1 одним из корней уравнения (*) является число 1, которое также является корнем уравнения, заданного условием. А другим же корнем уравнения (*) будет −a, равное −1, что не может служить корнем исходного уравнения.

Ответ: 1; 3.

Перепишем заданное уравнение так: Правая часть этого уравнения имеет вид что на координатной плоскости xOy задает пучок прямых. Действительно,

есть уравнение прямой, проходящей через точку (−6; 4) с угловым коэффициентом k = a.

Построим график функции Парабола, у которой ветви направлены вверх, проходит через точки: (3; 0), (−1; 0), а ее вершиной будет точка (1; −4). Зеркальным отражением относительно оси абсцисс части графика с отрицательными ординатами получим график функции (см. рис.).

Исходное уравнение будет иметь ровно 3 решения только в двух случаях.

1. Если прямая проходящая через точку (−6; 4), пересечет график функции в точке (3; 0), т. е. если координаты точки (3; 0) будут удовлетворять уравнению откуда

2. Если прямая пройдет через точку (1; 4), т. е. будет выполнено равенство

Итак, искомых значений параметра два: и 0.

Ответ:

Заметим, что если x₀ — корень заданного уравнения, то −x₀ также является корнем этого же уравнения. Чтобы уравнение имело ровно один корень необходимо выполнение условия: x₀ = −x₀. А это выполнимо лишь при одном условии: x₀ = −x₀ = 0.

Найдем все значения параметра а, при каждом из которых корнем заданного уравнения будет число 0.

Итак, нами найдены два значения а, при которых корнем уравнения является число 0. Равенство нулю является всего лишь необходимым условием единственности корня уравнения, но не достаточным. Следовательно, эти значения нуждаются в проверке.

При a = 3 уравнение примет вид:

Найдем область значений функции Аналогично Отсюда ясно, что графики функций f(x) и g(x) имеют одну единственную общую точку (0; 0). (См. также рис. 1).

При a = −2 будем иметь:

Рассмотрим функции и Графики этих двух функций, кроме общей точки (0; 0), имеют по меньшей мере еще одну общую точку, а именно, точку (2; −2). Докажем это. (Cм. также рис. 2)

Следовательно, значение a = −2 требованию задачи не соответствует.

Искомое значение параметра единственное: оно равно 3.

Ответ: 3.

Последовательно получаем:

Рассмотрим функцию Функция непрерывная, монотонно возрастающая как сумма двух возрастающих функций. Мы имеем: следовательно, должно выполняться условие: Отсюда:

Чтобы последнее уравнение имело два различных действительных корня необходимо и достаточно выполнение двух условий:

Решим систему неравенств

Итак, искомые значения параметра:

Ответ:

Рассмотрим функции: и и исследуем их на

Функция убывает на всей области определения как сумма убывающих функций (при этом функция невозрастающая), в том числе и на промежутке Непрерывная везде и всюду. Следовательно, принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке на концах отрезка:

а также все промежуточные значения из отрезка

Теперь займемся функцией Найдем ее область определения. Итак, Так как то функция определена на там же она непрерывна, возрастающая, следовательно, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка.

Очевидно, любой корень исходного уравнения будет лежать в промежутке тогда и только тогда, когда функция пробежит все значения из отрезка причем, будет выполнены условия:

В результате получим, что

Ответ:

Вершина параболы — точка Поскольку вершина параболы симметрична вершине параболы относительно точки , то зная координаты точки , легко получим координаты вершины параболы

В условии задачи говорится о прямой не совпадающей с их общей касательной и пересекающей каждую из заданных парабол в ровно в одной точке. Отсюда ясно, что эта прямая обязана быть параллельной оси ординат.

Кроме того, угол равен только в том случае, если ординаты точек Т и совпадут. Следовательно, А это значит, что осью симметрии параболы служит прямая Абсциссой точки будет Так как абсциссы точек и должны совпасть, то ордината точки равна

Итак, имеем:

Прямая — касательная к параболе ( — точка касания). Ее уравнение будет иметь вид: где

Искомое уравнение: Найдем точку пересечения с прямой

Итак,

Отсюда ясно, что — середина отрезка А это значит, что

Ответ: 1 : 1.

Введем функции и Построим их графики в одной и той же прямоугольной системе координат.

Для построения графика функции раскроим модули. Подмодульные выражения обращаются в нуль в точках:

При

при

при

при

при

График функции есть пучок прямых, проходящих через начало координат с угловым коэффициентом, равным а.

Изучив характер графиков двух функций, можно сделать вывод: исходное уравнение имеет ровно один корень если прямая пересечет ломаную, представляющую график функции в единственной точке. Очевидно, такое будет, если (параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты). Исходное уравнение также будет иметь ровно один корень, если прямая пройдет через точку Найдем значение а, которое обеспечит это условие.

Ответ:

Если то уравнение принимает вид и имеет один корень.

В остальных случаях представим график обеих частей уравнения.

График правой части — прямая, параллельная прямой

График функции  — два луча с общим началом в точке и угловыми коэффициентами

Поэтому график правой части — два луча (с началами в точках и угловыми коэффициентами и два отрезка, соединяющих те же точки с точкой

Из графика правой части видно, что прямая, параллельная имеет с ним ровно три общих точки тогда и только тогда, когда проходит либо через либо через Осталось выяснить, при каких a это происходит.

В первом случае откуда (уже разбиралось) либо (подходит).

Во втором случае откуда (уже разбиралось) либо (подходит).

Ответ:

Сразу заметим, что здесь n — не отрицательно.

При неотрицательных целых значениях n:

Поскольку исходное уравнение обязано иметь ровно 132 различных корня (число 132 – четное),

— x не может принять значения равного нулю;

— каждому значению n соответствует ровно два значения x,

то значения параметра а должны быть подобраны таким образом, чтобы было выполнено условие положительности разности ровно 66 раз, что возможно при (в этом множестве всего 66 элементов).

Такое требование будет выполнено только в том случае, если будет справедливо неравенство т. е. или

Ответ:

Заметим:

1. Уравнение имеет смысл только при

2. Один из двух различных корней уравнения заведомо равен 1. Если и произведение при этом имеет любое значение, принадлежащее то заданное уравнение обращается в истинное высказывание.

Следовательно, наша дальнейшая задача заключается в том, чтоб найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один положительный корень, отличный от 1.

Корни последнего уравнения на имеют вид: Эти корни уже заведомо противоположны по знаку, за исключением одного случая — когда они оба равны нулю. Однако, решения исходного уравнения не могу быть равными нулю. Отсюда: значение а, при котором, т. е. не подойдет.

Кроме того, ни ни не могут равняться 1. А это значит, что

3. Итак, параметр а может принимать все значения из , за исключением и Других ограничений на значения а не будет.

Ответ:

Исходное уравнение равносильно системе

Данная система не будет иметь действительных корней в двух случаях:

1) Будет верна система

при том, что дискриминант квадратного трехчлена будет неотрицательным.

2) Дискриминант квадратного трехчлена будет меньше нуля.

Рассмотрим функцию Для того чтобы были выполнены указанные оба условия необходимо и достаточно одновременное выполнение неравенств:

Ответ:

Начнём решение с рассмотрения ОДЗ данного уравнения. Получаем следующие условия на x:

Для того чтобы ОДЗ не оказалась пустым множеством, необходимо условие a > 0.

Преобразуем исходное уравнение с учётом ОДЗ:

Если полученное квадратное уравнение имеет корни, то они противоположны по знаку (по теореме Виета произведение корней равно −1), значит, один корень будет удовлетворять ОДЗ. Таким образом, осталось проверить факт наличия корней у этого уравнения, то есть решить неравенство D ≥ 0:

С учётом ограничения a > 0, получаем ответ a ∈ (0; 1].

Ответ: a ∈ (0; 1].

Преобразуем уравнение

Выясним, сколько корней имеет уравнение в зависимости от b.

Если то корень только В остальных случаях вычислим дискриминант.

Его дискриминант равен Это положительно при равно нулю на концах этого промежутка и отрицательно при прочих b.

Поскольку нам нужно, чтобы было три корня, одно из уравнений должно иметь один корень, а другое два.

Случай 1. Тогда одно из уравнений имеет единственный корень а второе не имеет корней при так как имеет два корня при так как

Случай 2. Это дает варианты и которые не подходят (для них одно из чисел дает один корень, а второе ни одного), и варианты и которые подходят (для них одно из чисел дает один корень, а второе два).

Ответ:

Сделаем замену Получим такую задачу: принимает все значения от 1 до 2 на отрезке 

Разберем сначала случай, когда дробь сократима. Тогда , или

Если получаем функцию принимающую все нужные значения при не потребовалось, поэтому такой случай нас устраивает.

Если получаем функцию не принимающую значения 1 при Поэтому такой случай нас не устраивает.

В остальных случаях дробь несократима и поэтому уравнение равносильно уравнению то есть Поэтому необходимо и достаточно, чтобы при всех функция принимала значение на отрезке Найдем ее минимальное и максимальное значение на этом отрезке. Очевидно, минимальное будет при (вершина параболы, лежит на ), а наибольшее — при Итак, требуется, чтобы и при любом из

То есть при любом из Учитывая монотонность функций на этом отрезке, нужно только чтобы

Значит

Ответ:

Заметим, что x = 9 не является корнем уравнения ни при каком a и перепишем уравнение в виде , после чего исследуем функцию на возрастание и убывание.

При имеем

поэтому функция возрастает, при этом Итак, на этом промежутке функция принимает все неотрицательные значения по одному разу.

При имеем

поэтому функция убывает на промежутках и при этом прямая x = 9 является вертикальной асимптотой графика. Итак, на этом промежутке функция принимает все значения по одному разу.

При имеем

поэтому функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке при этом Итак, на этом промежутке функция принимает все значения из промежутка по два раза, а значения 0 и -4 — по одному разу.

При имеем

поэтому функция возрастает, при этом

Итак, на этом промежутке функция принимает все отрицательные значения по одному разу. Объединяя, получаем, что на промежутках кроме функция принимает каждое свое значение ровно два раза. Значит, на этом промежутке она должна принимать такое значение один раз.

Ответ:a = 0; a = -4.

Перепишем второе уравнение в виде Тогда и Итак, 

Перепишем теперь первое уравнение системы в виде Значит

Заметим, что возможно. Для этого следует взять и тогда во всех неравенствах получается равенство.

Ответ:

Переобозначим На количество решений это не повлияет:

Будем пока считать, что Перенося и возводя в квадрат, получим

Нас интересует, при каких отрицательных это уравнение будет иметь ровно один неотрицательный корень:

Нужно, чтобы:

1) корни были, но их произведение было отрицательным либо;

2) был единственный корень и он был бы положительным либо;

3) было два корня — и отрицательное число.

Это дает нам:

1) откуда ;

2) но единственный корень отрицателен;

3) второй корень отрицателен.

Итак, годятся числа

Пусть теперь положительно. Заменяя на и на получим такое же уравнение с отрицательным

Поэтому ответ и

Ответ:

Обозначим за t. Очевидно, причем при есть единственное подходящее x, а при есть два подходящих x.

Уравнение примет вид

Если то Тогда и можно найти ровно два подходящих значения x. Такое a подходит.

В остальных случаях корни уравнений и совпадать не могут. Поэтому нужно, чтобы одно из чисел a и лежало в промежутке а другое нет. Подходят

Ответ:

Поскольку нас все равно не интересует, можно переписать уравнение в виде

Исследуем поведение функции на указанном отрезке. Возьмем ее производную.

Поэтому функция возрастает на и и убывает на

Отсюда следует, что ровно два решения на отрезке будет при и

Ответ:

Сделаем замену Тогда полученное уравнени должно будет иметь единственный положительный корень.

Заметим сразу, что никогда не является корнем этого уравнения, поэтому умножение на было равносильным преобразованием.

Случай 1. Это не квадратное уравнение (). Тогда , что удовлетворяет условию.

Случай 2. Это квадратное уравнение, у которого имеется единственный корень. Тогда

откуда Поскольку этот единственный корень равен то он, очевидно, положителен при и отрицателен при

Случай 3. У этого уравнения два корня, но лишь один из них положительный. Тогда их произведение неположительно.

Если то один из корней отрицателен, а второй равен нулю. Это не подходит.

Если же то есть то поэтому корни в самом деле есть, и ровно один из них положительный, что и требуется.

Ответ:

Заменим Тогда каждому значению t, соответствуют три значения x на указанном промежутке, каждому значению t, или  — два значения, а  — одно значение.

Заметим также, что При этих условиях уравнение равносильно имеет один корень и дает два значения x. Если то вторая скобка не даст новых корней, если же нет, то она не даст корней, равных корням первой скобки. Значит, она должна дать ровно два корня, поэтому

Учитывая уже имеющиеся ограничения на a, находим

Ответ:

Заметим, что при всех допустимых значениях переменной (), левая часть уравнения положительна, также положительно значение выражения Поэтому при решений нет.

Рассмотрим случай :

Пусть , тогда с учётом ОДЗ

Функция − возрастающая (как сумма возрастающих функций)

,

Функция − убывающая (композиция функций: возрастающая от убывающей)

,

Для того чтобы уравнение не имело корней достаточно, чтобы либо (рис. 1), либо (рис. 2). В остальных случаях будем всегда иметь одно решение, относительно

Из первого условия получаем из второго −

Объединяя все случаи получаем ответ: или

Ответ: или

Примечание: На рисунках изображены, конечно, не графики функций, (графики этих функций − кривые линии), а схемы, изображающие возрастание и убывание функций.