Расстояние между точками
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Пусть (x, y) — решение системы. Тогда при любом значении параметра a левая часть первого уравнения системы есть сумма расстояний от точки (x, y) до точек (1, a) и (5, a), лежащих на прямой y = a , параллельной оси абсцисс. Но расстояние между точками (1, a) и (5, a) равно 4, и поэтому решение первого уравнения — множество точек (x, y), причём 1 ≤ x ≤ 5, y = a, поскольку иначе
Следовательно, данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке 1 ≤ x ≤ 5.
Рассмотрим квадратичную функцию
Её график — парабола, направленная ветвями вверх. Поскольку свободный 
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. В этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему:
Поскольку любое решение полученного неравенства должно удовлетворять условию 
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
Ответ: −2, ±1, 0.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены одно или несколько значений a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения корней квадратичной функции (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Пусть (x, y) — решение системы. Тогда при любом значении параметра a левая часть первого уравнения системы есть сумма расстояний от точки (x, y) до точек (2, a) и (5, a), лежащих на прямой y = a , параллельной оси абсцисс. Но расстояние между точками (2, a) и (5, a) равно 3, и поэтому решение первого уравнения — множество точек (x, y), причём 2 ≤ x ≤ 5, y = a, поскольку иначе
Следовательно, данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке 2 ≤ x ≤ 5.
Рассмотрим квадратичную функцию
Её график — парабола, направленная ветвями вверх. Поскольку свободный член 
при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. Известно, что в этом случае единственный положительный корень функции 
лежит на отрезке 2 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда 
и Получаем систему
Поскольку любое решение полученного неравенства должно удовлетворять условию 
то есть 
и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только 
Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.
Ответ: −2, ±1, 0.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены одно или несколько значений a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения корней квадратичной функции (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
При каждом а решите систему уравнений
Запишем второе уравнение в виде
Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точек 
до точек 
и 
равно 
Поскольку расстояние между точками и тоже равно 
это означает, что точка должна лежать на отрезке, соединяющем точки и 
Другими словами, она удовлетворяет уравнению 
и условию 
Таким образом, исходная система равносильна системе
Подставив 2а в первое уравнение, получаем
Поскольку функция 
возрастающая (как сумма двух возрастающих), каждое значение она принимает ровно один раз. Поэтому решение 
— единственное, ему соответствует 
Ответ: если 
то 
при остальных а нет решений.
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
то при остальных а нет решений.Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Первому уравнению системы удовлетворяют те и только те точки 
которые лежат на отрезке AB прямой, соединяющей точки 
и 
поскольку уравнение задаёт множество точек 
сумма расстояний от каждой из которых до точек А и В равна 
что равно длине отрезка АВ.
Второму уравнению системы удовлетворяют те и только те точки которые лежат на прямой 
параллельной оси абсцисс и проходящей через точку 
По условию 
Если 
то точки В и О совпадают, и система не имеет решений. Для 
условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда точка С лежит между точками О и В, причём если точка С совпадает с точкой O или с точкой В, то условие задачи выполнено.
Решим неравенство 
Имеем:
Ответ: 
Примечание.
Задача станет интереснее, если отказаться от условия неотрицательности параметра. При a < 0 все точки отрезка АB, кроме точки А, лежат ниже оси абсцисс. Поэтому прямая, заданная уравнением 
может пересекать отрезок АB только в точке А. Тогда 
единственным отрицательным корнем этого уравнения является 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Уравнение 
означает, что сумма расстояний от точки 
до точек 
и 
равна 
но эта сумма расстояний всегда больше, чем если только точка не лежит на отрезке с концами и 
Значит, множество решений при 
— это отрезок с концами и При 
множество решений — это 
Множество решений неравенства 
— круг на плоскости с координатами с центром в начале координат и радиусом 
Отсюда получаем необходимое условие существование единственного решения — отрезок с концами и должен пересекаться с данным кругом в единственной точке. Это возможно при (когда отрезок превращается в точку), а также когда отрезок касается границы круга. Из симметрии точка касания лежит в середине этого отрезка. Расстояние от середины отрезка до начала координат равно 
В случае касания это расстояние должно совпадать с радиусом круга, откуда получаем уравнение 
Таким образом, система имеет единственное решение при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получены все значения  , но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
| Начато верное рассуждение и даже получено одно какое-нибудь значение параметра, но до конца задача не доведена. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх