Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 484574

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна  корень из (6) , высота равна  корень из (30) .

а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра BD и точки М и Т (середины ребер АС и соответственно), является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть Q — середина ребра CD,P — середина ребра BD. По теореме о средней линии треугольника TP||AD||MQ, следовательно, точки M, T,P,Q лежат в одной плоскости.

 

TP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD=MQ, следовательно, точки M,T,P,Q являются вершинами параллелограмма.

Кроме того, PQ||BC, а по теореме о трёх перпендикулярах, так как AO\perp BC, получим AD\perp BC, поэтому этот параллелограмм — прямоугольник.

 

б) Пусть точка O является центром правильного треугольника, а следовательно, центром описанной и вписанной окружностей. Отрезок AO является радиусом описанной окружности около треугольника ABC, он в корень из трёх раз меньше его стороны. По пункту а), искомое расстояние есть длина отрезка PT. Отрезок AO= дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из (3) конец дроби = корень из (2) .

По теореме Пифагора

AD= корень из (AO в квадрате плюс DO в квадрате ) =4 корень из (2) ,PT= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD=2 корень из (2) .

Ответ: 2 корень из (2) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 484573: 484574 511291 511292 Все

Спрятать решение · Прототип задания · ·
Владислав Потапов 14.12.2016 12:53

А почему у вас такое значение AO? Почему AB нужно поделить на квадратный корень из 3?

Кирилл Колокольцев

Величина радиуса окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a, равна  дробь: числитель: a, знаменатель: корень из (3) конец дроби .