Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 484620
i

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой  — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что либо AC  =  BC, либо AB  =  BC (или AB  =  AC).

Пер­вый слу­чай (рис. 1). AC  =  BC  =  13. Пусть Н  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем АB, r1  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Тогда CH  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHC на­хо­дим, что

AH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те минус CH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 в квад­ра­те минус 12 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =5.

Тогда

S_\Delta ABC=AH умно­жить на HC=5 умно­жить на 12=60,

S_\Delta ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AB плюс BC плюс AC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на r_1=18r_1.

Из ра­вен­ства 18r1  =  60 на­хо­дим, что r_1= дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Вто­рой слу­чай. (рис. 2). Пусть AB  =  BC  =  13, CH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, r2  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Тогда

BH=5,AH=AB плюс BH=13 плюс 5=18.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH на­хо­дим, что

S_\Delta ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 13 умно­жить на 12=78,S_\Delta ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AB плюс AC плюс BC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на r_2= левая круг­лая скоб­ка 13 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка r_2.

Из ра­вен­ства левая круг­лая скоб­ка 13 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка r_2=78 по­лу­ча­ем, что r_2= дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка 13 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай.

Тре­тий слу­чай со­сто­ит в том, что BC  =  AB и эти сто­ро­ны об­ра­зу­ют ост­рый угол. Тогда вы­со­та CH будет ле­жать внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC и AC=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та . В этом слу­ча­ем ра­ди­ус будет равен r_3= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 13 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , ~ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 13 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , ~ дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 13 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ 3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все

Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025