Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 484620

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= корень из (AC в квадрате минус CH в квадрате ) = корень из (13 в квадрате минус 12 в квадрате ) =5.

Тогда

S_\Delta ABC=AH умножить на HC=5 умножить на 12=60,

S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс BC плюс AC) умножить на r_1=18r_1.

Из равенства 18r1 = 60 находим, что r_1= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Второй случай. (рис. 2). Пусть AB = BC = 13, CH — высота треугольника ABC, r2 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Тогда

BH=5,AH=AB плюс BH=13 плюс 5=18.

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 13 умножить на 12=78,S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс AC плюс BC) умножить на r_2=(13 плюс 3 корень из (13) )r_2.

Из равенства (13 плюс 3 корень из (13) )r_2=78 получаем, что r_2= дробь: числитель: 3(13 минус 3 корень из (13) ), знаменатель: 2 конец дроби .

 

Рассмотрим третий случай.

Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и AC=4 корень из (13) . В этом случаем радиус будет равен r_3= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (13 минус 2 корень из (13) ).

Ответ:  дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби , ~ дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби (13 минус 3 корень из (13) ), ~ дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (13 минус 2 корень из (13) ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все