Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507498

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай. AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= корень из (AC в квадрате минус CH в квадрате ) = корень из (5 в квадрате минус 4 в квадрате ) =3.

Тогда

S_\Delta ABC=AH умножить на HC=3 умножить на 4=12,

S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс BC плюс AC) умножить на r_1=8r_1.

Из равенства 8r1 = 12 находим, что r_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:

BH= корень из (BC в квадрате минус CH в квадрате ) = корень из (5 в квадрате минус 4 в квадрате ) =3,AH=5 минус 3=2.

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

AC= корень из (CH в квадрате плюс AH в квадрате ) = корень из (4 в квадрате плюс 2 в квадрате ) =2 корень из (5) .

Тогда

r= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на CH, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс BC плюс CA) конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на 2, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (10 плюс 2 корень из (5) ) конец дроби = дробь: числитель: 5 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 5 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби или  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все