Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507494

Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= корень из (AC в квадрате минус CH в квадрате ) = корень из (13 в квадрате минус 12 в квадрате ) =5.

Тогда

S_\Delta ABC=AH умножить на HC=5 умножить на 12=60,

S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс BC плюс AC) умножить на r_1=18r_1.

Из равенства 18r1 = 60 находим, что r_1= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:

BH= корень из (BC в квадрате минус CH в квадрате ) = корень из (13 в квадрате минус 12 в квадрате ) =5,AH=13 минус 5=8.

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

AC= корень из (CH в квадрате плюс AH в квадрате ) = корень из (12 в квадрате плюс 8 в квадрате ) =4 корень из (13) .

Тогда

r= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на CH, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс BC плюс CA) конец дроби = дробь: числитель: 13 умножить на 6, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (26 плюс 4 корень из (13) ) конец дроби = дробь: числитель: 13 умножить на 6, знаменатель: 13 плюс 2 корень из (13) конец дроби = дробь: числитель: 26 минус 4 корень из (13) , знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 26 минус 4 корень из (13) , знаменатель: 3 конец дроби или  дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 484620: 507176 507494 507498 Все