Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 484663

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 12k в степени 2 плюс 12 и k в степени 3 плюс 9k.

Спрятать решение

Решение.

Если число p является делителем числа k в степени 3 плюс 9k, то оно является также и делителем числа k(k в степени 3 плюс 9k)=k в степени 4 плюс 9k в степени 2 . Но если число p является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 12k в степени 2 плюс 12 и k в степени 4 плюс 9k в степени 2 , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа

(k в степени 4 плюс 12k в степени 2 плюс 12) минус (k в степени 4 плюс 9k в степени 2 )=3k в степени 2 плюс 12.

Аналогично получаем:

 

1) число p является общим делителем чисел k в степени 3 плюс 9k и 3k в степени 2 плюс 12, значит, p является делителем числа

3(k в степени 3 плюс 9k) минус k(3k в степени 2 плюс 12)=15k;

 

2) число p является общим делителем чисел 3k в степени 2 плюс 12 и 15k, значит, p является делителем числа

5(3k в степени 2 плюс 12) минус k15k=60;

Число 60 имеет ровно три различных простых делителя — 2, 3 и 5. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 2, 3 и 5 является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 12k в степени 2 плюс 12 и k в степени 3 плюс 9k.

 

Если число k — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 3, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число k=1, то число 5 является общим делителем данных чисел.

 

Ответ: 2, 3, 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. 3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства