Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 511321

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 4k в квадрате плюс 4 и k в кубе плюс 3k.

Спрятать решение

Решение.

Если число p является делителем числа k в кубе плюс 3k, то оно является также и делителем числа k(k в кубе плюс 3k)=k в степени 4 плюс 3k в квадрате . Но если число p является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 4k в квадрате плюс 4 и k в степени 4 плюс 3k в квадрате , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа

(k в степени 4 плюс 4k в квадрате плюс 4) минус (k в степени 4 плюс 3k в квадрате )=k в квадрате плюс 4.

Аналогично получаем:

 

1) число p является общим делителем чисел k в кубе плюс 3k и k в квадрате плюс 4, значит, p является делителем числа

(k в кубе плюс 3k) минус k(k в квадрате плюс 4)= минус k;

 

2) число p является общим делителем чисел k в квадрате плюс 4 и  минус k, значит, p является делителем числа

(k в квадрате плюс 4) минус ( минус k)*( минус k)=4;

Число 4 имеет один простой делитель — 2. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых число 2 являлось общим делителем чисел k в степени 4 плюс 4k в квадрате плюс 4 и k в кубе плюс 3k.

Заметим, что если число k — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел.

 

Ответ: 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. 3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства