Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 484664

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 15k в квадрате плюс 35 и k в кубе плюс 8k.

Спрятать решение

Решение.

Если число p является делителем числа k в кубе плюс 8k, то оно является также и делителем числа k(k в кубе плюс 8k)=k в степени 4 плюс 8k в квадрате . Но если число p является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 15k в квадрате плюс 35 и k в степени 4 плюс 8k в квадрате , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа

(k в степени 4 плюс 15k в квадрате плюс 35) минус (k в степени 4 плюс 8k в квадрате )=7k в квадрате плюс 35.

Аналогично получаем:

 

1) число p является общим делителем чисел k в кубе плюс 8k и 7k в квадрате плюс 35, значит, p является делителем числа

7(k в кубе плюс 8k) минус k(7k в квадрате плюс 35)=21k;

 

2) число p является общим делителем чисел 7k в квадрате плюс 35 и 21k, значит, p является делителем числа

3(7k в квадрате плюс 35) минус k21k=105;

Число 105 имеет ровно три различных простых делителя — 3, 5 и 7. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем чисел k в степени 4 плюс 15k в квадрате плюс 35 и k в кубе плюс 8k.

 

Если k=1, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 5, то число 5 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 7, то число 7 является общим делителем данных чисел.

 

Замечание. Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7 являются общими делителями данных чисел.

 

Ответ: 3, 5, 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. 3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства