Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = 5.
а) Докажите, что расстояние между прямыми AC и B1D1 равно расстоянию между прямыми 
и BD.
б) Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 13.
а) Основания призмы параллельны, поэтому расстояние между прямыми AC и 
равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Этой же высоте равно расстояние между прямыми и BD.
б) Из пункта а) высота призмы равна 13. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром 
и прямой 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Его катеты равны 
Значит, 
Ответ: 
Нужно найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой BD1. ( Условие не соответствует решению)
Вчитайтесь в решение, и увидите, что всё соответствует
Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными линии пересечения плоскостей (а не прямыми, перпендикулярными плоскостям).
Вы, действительно, так искренне думаете?
Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1.
На картинке даже не обозначена середина ребра, нет плоскости перпендикулярной другому ребру. В пояснениях совершенно ничего не говорится о том, как именно появилась плоскость, изображенная на картинке, хотя она совершенно не соответствует условию.
В пояснении, действительно, нет указанной плоскости. Это не требуется, построить ее гораздо сложнее, чем ответить на вопрос задачи. На картинке нет вообще никаких плоскостей, кроме граней призмы.
Браво! Целый час пытался высчитать, как пройдет искомая плоскость, пока не запутался в корнях из шестизначных чисел. Потом открыл решение и ещё четверть часа вникал. И тупил: а где же искомая плоскость…?
Но право же: не имеет значения, через какую точку пройдет плоскость, перпендикулярная прямой BD1: таких плоскостей бесконечно много, а угол с основанием параллелограмма у всех таких плоскостей будет один и тот же!
И действительно, прямая DD1 перпендикулярна плоскости основания, а прямая BD1 перпендикулярна той самой искомой плоскости!
И как справедливо указано выше, угол между плоскостями будет равен углу между прямыми, перпендикулярными данным плоскостям – по аналогии с углами в планиметрии, лучи которых взаимно перпендикулярны. Правда, в планиметрии такие углы могут составлять в сумме 180 градусов, но углом между плоскостями по определению является наименьший из двух углов, то есть всегда не более 90 градусов.
Пример задачи, которая решается не «техникой», а внимательностью и остроумием. Нам всем не следует забывать об этом! И учить этому своих юных математиков)))