Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Пусть 
(рис. 1). Четырехугольники ABCP и BCDP — параллелограммы, поэтому Mи N — середины BPи CP, значит, CM и BN — медианы треугольника 
Пусть h — высота трапеции. Положим 
Тогда
так как O — точка пересечения медиан треугольника BPC, поэтому
Аналогично, 
значит, треугольник MON подобен треугольнику AOD с коэффициентом 
Заметим, что поскольку треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом 2, высота треугольника AOD вдвое больше высоты треугольника BOC и составляет две трети высоты трапеции. Имеем:
Рассмотрим случай, когда
(рис. 2) Пусть h — высота трапеции. Положим 
Тогда, как и в первом случае 
Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом 
а треугольник AMP – треугольнику CMB с коэффициентом 
Тогда
Значит, 
Аналогично, 
Следовательно,
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |