Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 486002

Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Спрятать решение

Решение.

Пусть AD=2BC~ (рис. 1). Четырехугольники ABCP и BCDP — параллелограммы, поэтому Mи N — середины BPи CP, значит, CM и BN — медианы треугольника BPC. Пусть h — высота трапеции. Положим BC=a,AD=2a,OM=x. Тогда

S_ABCD= дробь: числитель: a плюс 2a, знаменатель: 2 конец дроби умножить на h= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ah=810 равносильно ah=540.

OC=2x, так как O — точка пересечения медиан треугольника BPC, поэтому

AM=MC=3x,~~OA=AM плюс OM=3x плюс x=4x, дробь: числитель: OM, знаменатель: OA конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: 4x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Аналогично,  дробь: числитель: ON, знаменатель: OD конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , значит, треугольник MON подобен треугольнику AOD с коэффициентом  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . Заметим, что поскольку треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом 2, высота треугольника AOD вдвое больше высоты треугольника BOC и составляет две трети высоты трапеции. Имеем:

S_\vartriangle MON= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени (2) умножить на S_\vartriangle AOD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2a умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби ah= дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби умножить на 540= дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби .

Рассмотрим случай, когда BC=2AD~ (рис. 2) Пусть h — высота трапеции. Положим AD=a, BC=2a,  AM=3t. Тогда, как и в первом случае ah=540.

Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , а треугольник AMP – треугольнику CMB с коэффициентом  дробь: числитель: AP, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . Тогда

 дробь: числитель: AM, знаменатель: MC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,~~ дробь: числитель: PM, знаменатель: PB конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,~~MC=12t,

 

AC=AM плюс MC=15t,~~AO=5t,~~MO=2t.

Значит,  дробь: числитель: OM, знаменатель: OA конец дроби = дробь: числитель: 2t, знаменатель: 5t конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . Аналогично,  дробь: числитель: ON, знаменатель: OD конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . Следовательно,

S_\vartriangle MON= левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени (2) умножить на S_\vartriangle AOD= дробь: числитель: 4, знаменатель: 25 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h= дробь: числитель: 2, знаменатель: 75 конец дроби ah= дробь: числитель: 2, знаменатель: 75 конец дроби умножить на 540= дробь: числитель: 72, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби или  дробь: числитель: 72, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 486002: 507641 507707 507369 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие