Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 507707
i

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 240. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции втрое боль­ше дру­го­го.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть AD=3 BC (рис. 1). По­ло­жим BC=a, AD=3a, OC=x. Тре­уголь­ник COB по­до­бен тре­уголь­ни­ку AOD с ко­эф­фи­ци­ен­том  дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: AD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а тре­уголь­ник CMB по­до­бен тре­уголь­ни­ку AMP с ко­эф­фи­ци­ен­том  дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: AP конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­это­му

OA=3x;AC=OA плюс OC=3x плюс x=4x;MC= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби AC= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x;

OM=MC минус OC= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x,

зна­чит,  дробь: чис­ли­тель: OM, зна­ме­на­тель: OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x:3x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Ана­ло­гич­но  дробь: чис­ли­тель: ON, зна­ме­на­тель: OD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Пусть h  — вы­со­та тра­пе­ции. Тогда пло­щадь тра­пе­ции

 дробь: чис­ли­тель: a плюс 3a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби h=2ah=240,ah=120,

S_\vartriangle AOD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AD умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби h= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ah= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на 120=135,

а так как тре­уголь­ник MON по­до­бен тре­уголь­ни­ку AOD с ко­эф­фи­ци­ен­том  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , то

S_\vartriangle MON= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те S_\vartriangle AOD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби умно­жить на 135= дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Рас­смот­рим слу­чай, когда BC=3AD (рис. 2). Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му по­лу­чим, что  дробь: чис­ли­тель: OM, зна­ме­на­тель: OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби и S_\vartriangle AOD=15. Сле­до­ва­тель­но,

S_\vartriangle MON= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те S_\vartriangle AOD= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби умно­жить на 15= дробь: чис­ли­тель: 135, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби или  дробь: чис­ли­тель: 135, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ 3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за гео­мет­ри­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 486002: 507641 507707 507369 Все

Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, По­до­бие