Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 500016

Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции

f(x)=4x в степени 2 плюс 4ax плюс a в степени 2 минус 2a плюс 2

на множестве |x|\geqslant 1 не менее 6.

Спрятать решение

Решение.

Графиком функции f(x)=(2x плюс a) в степени 2 минус 2a плюс 2 является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты  левая круглая скобка минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2a плюс 2 правая круглая скобка . Значит, минимум функции f(x) на всей числовой оси достигается при x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .

На множестве |x|\geqslant 1 эта функция достигает наименьшего значения либо в точке x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек x=\pm 1.

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

f(1)\geqslant 6 равносильно a в степени 2 плюс 2a плюс 6\geqslant 6 равносильно a(a плюс 2)\geqslant 0,

f( минус 1)\geqslant 6 равносильно a в степени 2 минус 6a плюс 6\geqslant 6 равносильно a(a минус 6)\geqslant 0,

откуда получаем систему неравенств

 система выражений  новая строка a(a плюс 2)\geqslant 0,  новая строка a(a минус 6)\geqslant 0, конец системы .

решение которой a принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 2]\cup\0\\cup[6; плюс принадлежит fty).

При a\leqslant минус 2 имеем:  минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant 1, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби и f левая круглая скобка минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус 2a плюс 2\geqslant 6, что удовлетворяет условию задачи.

При a=0 имеем:  минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =0, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек x=\pm 1, в которых значение функции не меньше 6.

При a\geqslant 6 имеем:  минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant минус 3, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x= минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби и f левая круглая скобка минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус 2a плюс 2\leqslant минус 10, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: a\leqslant минус 2;a=0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ4
С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки)3
С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули)2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500016: 500022 500451 500471 Все

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Виталий Палихов 29.03.2016 18:39

Но ведь если взять, например a = 4, то минимум функции будет в точке x = 2, а значение в этой точке f(2) = 58. А это удовлетворяет условию.

Александр Иванов

Виталий, если взять a = 4, то минимум функции будет в точке x = -2

Анатолий Калинин 08.01.2018 22:03

ошибка, рассматривать а нужно относительно условия abs(xв)>=1 и abs(xв)<=1; в первом случае да, функция просто должна принимать значения большие тлт равные 6, а вот во втором крайние точки 1 и -1 должны принимать значения большие или равные 6 одновременно; тогда ответ получается a=<-2 или -2<a=<0 тогда итоговый ответ a=<0; ЕСЛИ ЛЕНЬ ВСЕ ЭТО ЧИТАТЬ ПОДСТАВЬТЕ а=-1.

Александр Иванов

Подставили a= минус 1, тогда f(1)=5. Не подошло.