Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 500471

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f(x)=4x в степени 2 минус 4ax плюс a в степени 2 плюс 2a плюс 2

на множестве |x|\geqslant 1 не меньше 6.

Спрятать решение

Решение.

Графиком функции f(x)= (2x минус a) в степени 2 плюс 2a плюс 2 является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты  левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ,2a плюс 2 правая круглая скобка . Значит, минимум функции f(x) на всей числовой оси достигается при x = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .

На множестве |x|\geqslant 1 эта функция достигает наименьшего значения либо в точке x = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек x = \pm 1.

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

f(1)\geqslant 6 равносильно a в степени 2 минус 2a плюс 6\geqslant 6 равносильно a(a минус 2)\geqslant 0,

f( минус 1)\geqslant 6 равносильно a в степени 2 плюс 6a плюс 6\geqslant 6 равносильно a(a плюс 6)\geqslant 0,

 

откуда получаем систему неравенств

\left\ \begin{matrix a(a минус 2)\geqslant 0, a(a плюс 6)\geqslant 0. \endmatrix .
.

решениями которой являются a принадлежит ( минус принадлежит fty, минус 6]\cup\0\\cup[2, плюс принадлежит fty).

При a\leqslant минус 6 имеем:  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant минус 3, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби и f левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2a плюс 2\leqslant минус 10, что не удовлетворяет условию задачи.

При a = 0 имеем:  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =0, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек x = \pm 1, в которых значение функции не меньше 6.

При a\geqslant 2 имеем:  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant 1, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби и f левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2a плюс 2\geqslant 6, что удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: a = 0,a\geqslant 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500016: 500022 500451 500471 Все