Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 500471
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4x в квад­ра­те минус 4ax плюс a в квад­ра­те плюс 2a плюс 2

на мно­же­стве |x| боль­ше или равно 1 не мень­ше 6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Гра­фи­ком функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2a плюс 2 яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, а вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,2a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, ми­ни­мум функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на всей чис­ло­вой оси до­сти­га­ет­ся при x = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

На мно­же­стве |x| боль­ше или равно 1 эта функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния либо в точке x = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , если эта точка при­над­ле­жит мно­же­ству, либо в одной из гра­нич­ных точек x = \pm 1.

Если наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6, то и вся­кое зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6. В част­но­сти,

f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 6 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 2a плюс 6 боль­ше или равно 6 рав­но­силь­но a левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,

f левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 6 рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс 6a плюс 6 боль­ше или равно 6 рав­но­силь­но a левая круг­лая скоб­ка a плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,

 

от­ку­да по­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginmatrix a левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, a левая круг­лая скоб­ка a плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0. \endmatrix .

.

ре­ше­ни­я­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность , минус 6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2, плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

При a мень­ше или равно минус 6 имеем: дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус 3, зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке x= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2a плюс 2 мень­ше или равно минус 10, что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

При a = 0 имеем: дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0, зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в одной из гра­нич­ных точек x = \pm 1, в ко­то­рых зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6.

При a боль­ше или равно 2 имеем: дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 1, зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке x= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2a плюс 2 боль­ше или равно 6, что удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

 

Ответ: a = 0,a боль­ше или равно 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний а, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а2
Верно по­лу­че­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 500016: 500022 500451 500471 ... Все

Классификатор алгебры: Ку­соч­ное по­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026