ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 500471 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f(x)=4x в степени 2 минус 4ax плюс a в степени 2 плюс 2a плюс 2$

на множестве $|x|\geqslant 1$ не меньше 6.

Спрятать решение

Решение.

Графиком функции $f(x)= (2x минус a) в степени 2 плюс 2a плюс 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты $левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ,2a плюс 2 правая круглая скобка .$ Значит, минимум функции $f(x)$ на всей числовой оси достигается при $x = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$

На множестве $|x|\geqslant 1$ эта функция достигает наименьшего значения либо в точке $x = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ,$ если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек $x = \pm 1.$

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

$f(1)\geqslant 6 равносильно a в степени 2 минус 2a плюс 6\geqslant 6 равносильно a(a минус 2)\geqslant 0,$

$f( минус 1)\geqslant 6 равносильно a в степени 2 плюс 6a плюс 6\geqslant 6 равносильно a(a плюс 6)\geqslant 0,$

откуда получаем систему неравенств

$\left\ \begin{matrix a(a минус 2)\geqslant 0, a(a плюс 6)\geqslant 0. \endmatrix .$ .

решениями которой являются $a принадлежит ( минус принадлежит fty, минус 6]\cup\0\\cup[2, плюс принадлежит fty).$

При $a\leqslant минус 6$ имеем: $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant минус 3,$ значит, наименьшее значение функции достигается в точке $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ и $f левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2a плюс 2\leqslant минус 10,$ что не удовлетворяет условию задачи.

При $a = 0$ имеем: $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =0,$ значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек $x = \pm 1,$ в которых значение функции не меньше 6.

При $a\geqslant 2$ имеем: $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant 1,$ значит, наименьшее значение функции достигается в точке $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ и $f левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2a плюс 2\geqslant 6,$ что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $a = 0,a\geqslant 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а	2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 500016: 500022 500451 500471 Все

Классификатор алгебры: Кусочное построение графика функции

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Перебор случаев

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь