Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 500022

Найдите все значения a при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4x в квадрате минус 4ax плюс a в квадрате плюс 2a плюс 2 на множестве |x| больше или равно 1 не менее 6.

Спрятать решение

Решение.

Графиком функции f(x)=(2x минус a) в квадрате плюс 2a плюс 2 является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты  левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , 2a плюс 2 правая круглая скобка . Значит, минимум функции f(x) на всей числовой оси достигается в вершине при x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .

На множестве |x| больше или равно 1 эта функция достигает наименьшего значения либо в точке x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек x=\pm 1.

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

f(1) больше или равно 6 равносильно a в квадрате минус 2a плюс 6 больше или равно 6 равносильно a(a минус 2) больше или равно 0,

f( минус 1) больше или равно 6 равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 6 больше или равно 6 равносильно a(a плюс 6) больше или равно 0,

откуда получаем систему неравенств

 система выражений  новая строка a(a минус 2) больше или равно 0,  новая строка a(a плюс 6) больше или равно 0, конец системы .

решениями которой являются a меньше или равно минус 6, a=0, a больше или равно 2.

При a меньше или равно минус 6 имеем:  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус 3, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби и f левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2a плюс 2 меньше или равно минус 10, что не удовлетворяет условию задачи.

При a=0 имеем:  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =0, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек x=\pm 1, в которых значение функции не меньше 6.

При a больше или равно 2 имеем:  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби и f левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2a плюс 2 больше или равно 6, что удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: a=0, a больше или равно 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ4
С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки)3
С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули)2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500016: 500022 500451 500471 Все