Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 500587

а) Решите уравнение  косинус 2x минус синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = минус 0,25;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка Пи , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

a) Преобразуем уравнение:

 косинус 2x минус синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = минус 0,25 равносильно 2 косинус в квадрате x минус 1 минус косинус в квадрате x= минус 0,25 равносильно  равносильно косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка Пи , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Находим числа:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) \left\ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i6 плюс Пи k: k принадлежит Z \; б)  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 500366: 500587 501482 514505 Все

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Алёна Демидова 22.04.2013 19:02

По формуле для нахождения корней у косинуса, периодичность равна 2 Пи k, а в вашей формуле не та периодичность, и, следовательно, один лишний корень в выборе корней на промежутке.

Константин Лавров

Странно, что вы обращаете внимание на "лишний" корень уже только при выборе корней, а не с самого начала. Но у нас все верно, периодичность косинуса тут не причем, просто решены сразу оба уравнения.

Надежда Калинкина 21.05.2013 10:55

Если в ответе пункта А) напишу \pm дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс 2 Пи k,\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z , засчитают?

Константин Лавров

Да, конечно.

Виктория Григорьева 01.06.2013 07:28

Я заменила  косинус 2x на  косинус в квадрате x минус синус в квадрате x. Из уравнения с синусом ответ получился ( минус 1) в степени k дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс Пи k, ( минус 1) в степени (k плюс 1) дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 6 плюс Пи k.

б)корни  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Это правильное решение?

Константин Лавров

Да, все правильно.

Евгений Ощепков 04.03.2014 21:35

периодичность у арккосинуса ведь 2П, а если через синус решать то там так выходит. Я прав?

Константин Лавров

\arccos x, впрочем, как и \arcsin x не являются периодическими функциями.

Борис Синицын 11.07.2016 12:43

Вы по­те­ря­ли два корня 5п/6 + 2пk и -5п/6 +2пk

Борис Синицын

Указанные Вами корни не потеряны.

 дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k входит в серию  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n ,

 минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k входит в серию  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n , где k,n принадлежит Z

Борис Синицын 11.07.2016 12:44

воз­мо­жен ответ?

а) п±п/6+2пk, ±п/6+2пk, k∈Z.

Борис Синицын

воз­мо­жен

Лидия Огнева 10.02.2017 09:56

1-2sin^2x-(sin pi/2*cosx-cos pi/2*sinx)^2=1-2sin^2x-cos^2x=-2sin^2x+sin^2x=-sin^2x=-0,25 => sin^2x=0,25 => 1) sinx = 0,5 или 2) sinx = -0,5

=> x=+-pi/6+2pi*n или x=+-5pi/6+2pi*n

Объясните, пожалуйста, где моя ошибка. Почему у меня получается +-5pi/6+2pi*n?

Александр Иванов

У Вас верно.

Посмотрите комментарии к вопросам выше