Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 501051
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус x плюс синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пе­ре­не­сем синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби в пра­вую часть и при­ме­ним фор­му­лу для ко­си­ну­са двой­но­го угла:

синус x= ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но синус x = ко­си­нус x.

Если ко­си­нус x =0, то из урав­не­ния сле­ду­ет, что синус x=0, что про­ти­во­ре­чит ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству. По­это­му ко­си­нус x от­ли­чен от 0, и на него можно по­де­лить обе части урав­не­ния:

тан­генс x =1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 4 плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­лу­чим числа минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 4 плюс Пи k: k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 485991: 485987 501051 510648 ... Все

Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та, Фор­му­лы при­ве­де­ния
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Александр Бровкин 28.02.2017 12:53

Про­бу­ем ре­шить это за­да­ние дру­гим спо­со­бом

По фор­му­ле си­ну­са двой­но­го угла, sinX = 2sin(X/2)cos(X/2)

По­лу­ча­ем од­но­род­ное урав­не­ние, делим его на cos(X/2)^2, cos(X/2) != 0

Тогда

tg(X/2)^2 + 2tg(X/2) - 1 = 0

но по­лу­ча­ют­ся стран­ные корни (±√2 - 1). Что не так с этим ва­ри­ан­том ре­ше­ния, ко­то­рый впол­не ло­ги­чен и не на­ру­ша­ет пра­вил три­го­но­мет­рии?

Александр Иванов

Алек­сандр, а всё так.

2 арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

Александр Бровкин 01.03.2017 17:02

Хо­ро­шо, но как, по каким фор­му­лам пе­рей­ти от arctg(√2 - 1) к п/4 на эк­за­ме­не, не ис­поль­зуя каль­ку­ля­тор (как ни стран­но, вы­чис­ляя арк­тан­генс на каль­ку­ля­то­ре, дей­стви­тель­но можно по­лу­чить пра­виль­ный ответ)?

Александр Иванов

Алек­сандр, а не нужно пе­ре­хо­дить. Оставь­те ответ в том виде, в ко­то­ром Вы его по­лу­чи­ли. Это тоже ПРА­ВИЛЬ­НЫЙ ответ



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025