Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 501436

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 8 корень из (3) , а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1.

 

а) Докажите, что расстояние между прямыми A_1D и CC_1 равно расстоянию между точкой A и плоскостью BCC_1.

 

б) Найдите объём пятигранника ABCA1D.

Спрятать решение

Решение.

 

а) Заметим, что расстояние между A_1D и CC_1 равно расстоянию между прямой CC_1 и плоскостью AA_1B, то есть высоте CM треугольника ABC. Расстояние же между точкой A и плоскостью BCC_1 равно высоте того же треугольника ABC, проведенной из вершины A. Осталось заметить, что треугольник ABC равносторонний, поэтому его высоты равны.

 

б) Пусть CM — высота треугольника ABC. Тогда CM\bot ABB_1A_1 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме AA_1\bot ABC и, значит, CM\bot AA_1. Пятигранник ABCA_1D — четырехугольная пирамида с вершиной в точке C и основанием ABDA_1 — прямоугольной трапецией. Высота пирамиды CM= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби . Площадь основания равна

S_ABDA_1= дробь: числитель: AA_1 плюс BD, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AB= дробь: числитель: 8 корень из (3) плюс 4 корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби =6 корень из (3) ,

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ABDA_1 умножить на CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 6 корень из (3) умножить на дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби =3.

Приведем другое решение.

Нетрудно заметить, что плоскость CDA1 делит призму на два равных многогранника. Значит, объем каждого из них равен половине объема призмы. Отсюда получаем ответ.

 

Ответ: 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Ход решения верный, но получен неверный ответ в результате вычислительной ошибки,

ИЛИ

решение не закончено,

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 501436: 501456 511360 Все