а)  За­ме­тим, что рас­сто­я­ние между и равно рас­сто­я­нию между пря­мой и плос­ко­стью то есть вы­со­те CM тре­уголь­ни­ка ABC. Рас­сто­я­ние же между точ­кой  A и плос­ко­стью равно вы­со­те того же тре­уголь­ни­ка  ABC, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны  A. Оста­лось за­ме­тить, что тре­уголь­ник  ABC рав­но­сто­рон­ний, по­это­му его вы­со­ты равны.

б)  Пусть CM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Тогда по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти, по­сколь­ку в пра­виль­ной приз­ме и, зна­чит, Пя­ти­гран­ник   — че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной в точке  C и ос­но­ва­ни­ем   — пря­мо­уголь­ной тра­пе­ци­ей. Вы­со­та пи­ра­ми­ды Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Не­труд­но за­ме­тить, что плос­кость CDA₁ делит приз­му на два рав­ных мно­го­гран­ни­ка. Зна­чит, объем каж­до­го из них равен по­ло­ви­не объ­е­ма приз­мы. От­сю­да по­лу­ча­ем ответ.

Ответ: 3.

а)  За­ме­тим, что оба пя­ти­гран­ни­ка яв­ля­ют­ся че­ты­рех­уголь­ны­ми пи­ра­ми­да­ми. Ос­но­ва­ния этих пи­ра­мид - равны пря­мо­уголь­ные тра­пе­ции. Вы­со­ты этих пи­ра­мид равны, так как это вы­со­ты рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков ABC и По­это­му и объ­е­мы этих пи­ра­мид равны.

б)  Пусть   — вы­со­та тре­уголь­ни­ка тогда по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти, по­сколь­ку в пра­виль­ной приз­ме и, зна­чит, Пя­ти­гран­ник   — четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной в точке и ос­но­ва­ни­ем   — пря­мо­уголь­ной тра­пе­ци­ей.

Вы­со­та пи­ра­ми­ды Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Ответ: 6.

а)  За­ме­тим, что рас­сто­я­ние между и равно рас­сто­я­нию между пря­мой и плос­ко­стью то есть вы­со­те CM тре­уголь­ни­ка ABC. Рас­сто­я­ние же между точ­кой A и плос­ко­стью равно вы­со­те того же тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны A. Оста­лось за­ме­тить, что тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, по­это­му его вы­со­ты равны.

б)  Пусть CM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Тогда по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти, по­сколь­ку в пра­виль­ной приз­ме и, зна­чит, Пя­ти­гран­ник   — че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной в точке C и ос­но­ва­ни­ем   — пря­мо­уголь­ной тра­пе­ци­ей. Вы­со­та пи­ра­ми­ды Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Ответ: 24.