В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а) Докажите, что площадь боковой поверхности пирамиды относится к площади основания как 
б) Найдите площадь этой сферы.
а) Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды
с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, 
откуда
Треугольник ABH равносторонний, следовательно, 
В треугольнике AMB высота
В правильном треугольнике AHB высота 
Тогда косинус двугранного угла при основании пирамиды равен 
А площадь основания пирамиды есть площадь боковой поверхности пирамиды умножить на косинус двугранного угла при основании. Отсюда и следует требуемое.
б) Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому
где r — радиус сферы. Площадь сферы 
Ответ: 
Укажем другой путь нахождения радиуса.
Объем пирамиды равен
Площадь полной поверхности пирамиды равна
Тогда
почему радиус касается именно прямой
Потому, что он перпендикулярен плоскости
и лежит в плоскости 
Можно ли рассмотреть треугольник
как треугольник с вписанной окружностью и высчитать радиус по формуле 
где 
— полупериметр?
Осталось выяснить какое отношение указанная окружность имеет к вписанной в пирамиду сфере?
Пожалуйста, напишите подробно, как вычислить радиус из выражения, составленного в первом решении