Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 511368
i

В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 5, а вы­со­та равна 3, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды от­но­сит­ся к пло­ща­ди ос­но­ва­ния как ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та :2.

б)  Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды MABCDEF с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH пря­мо­уголь­ный, MA=5,MH=3, от­ку­да

AH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MA в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =4.

Тре­уголь­ник ABH рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, AB=AH=4. В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

MN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MA в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке AHB вы­со­та NH= дробь: чис­ли­тель: AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Тогда ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды равен дробь: чис­ли­тель: NH, зна­ме­на­тель: MN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби . А пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды есть пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды умно­жить на ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. От­сю­да и сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

б)  Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

MO:OK=MN:HN рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 3 минус r пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та умно­жить на r рав­но­силь­но r = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но r=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус 4,

где r  — ра­ди­ус сферы. Пло­щадь сферы S=4 Пи r в квад­ра­те =16 левая круг­лая скоб­ка 11 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка Пи .

 

Ответ: 16 левая круг­лая скоб­ка 11 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 502023: 502054 511368 Все

Классификатор стереометрии: Впи­сан­ный шар, Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026