Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 511368

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 5, а высота равна 3, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Спрятать решение

Решение.

Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, MA=5,MH=3, откуда

AH= корень из (MA в квадрате минус MH в квадрате ) =4.

Треугольник ABH равносторонний, следовательно, AB=AH=4. В треугольнике AMB высота

MN= корень из (MA в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) = корень из (21) .

В правильном треугольнике AHB высота NH= дробь: числитель: AB корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби =2 корень из (3) .

Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

MO:OK=MN:HN равносильно левая круглая скобка 3 минус r правая круглая скобка умножить на 2 корень из (3) = корень из (21) умножить на r равносильно r = дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 плюс корень из (7) конец дроби равносильно r=2 корень из (7) минус 4,

где r — радиус сферы. Площадь сферы S=4 Пи r в квадрате =16(11 минус 4 корень из (7) ) Пи .

 

Ответ: 16 левая круглая скобка 11 минус 4 корень из (7) правая круглая скобка Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 502023: 502054 503321 503361 511368 511384 Все