Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 502054

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно  корень из (5) , а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а) Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды равен 30 градусов.

б) Найдите площадь этой сферы.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть МН — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной М, тогда треугольник AMH прямоугольный,  MA= корень из (5) ,MH=1, откуда

AH= корень из (MA в квадрате минус MH в квадрате ) =2.

Треугольник ABH равносторонний, следовательно, AB=AH=2. В треугольнике AMB высота

MN= корень из (MA в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) =2.

Двугранный угол при основании пирамиды равен углу MNH. Далее заметим, что в прямоугольном треугольнике MNH катет, лежащий напротив угла MNH, вдвое меньше гипотенузы, а значит искомый угол равен 30 градусов.

 

б) В правильном треугольнике AHB высота HN = дробь: числитель: AB корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби = корень из (3) .

Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

MO : OK=MN : HN равносильно (1 минус r) умножить на корень из (3) =2 умножить на r равносильно r=2 корень из (3) минус 3,

где r — радиус сферы.

Площадь сферы  S=4 Пи r в квадрате =12(7 минус 4 корень из (3) ) Пи .

Ответ: 12(7 минус 4 корень из (3) ) Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 502023: 502054 503321 503361 511368 511384 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 602., Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Гость 26.08.2014 14:58

Если треугольники подобны, то в пропорциональном отношении относятся стороны двух треугольников, а не стороны одного между собой. MO:MN=OK:HN, a не MO:OK=MN:HN.

Эта ошибка во всех подобных задачах

Константин Лавров

Несложное упражнение, позволит вам получить из того соотношения, которое вы приводите, то, которое вы отрицаете. Это покажет вам, что ошибка не в задаче, а в восприятии вами окружающей действительности, которая гораздо богаче, чем вам кажется.