Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра основания которой равны 
Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра B1C1, является квадратом.
а) Докажите, что расстояние между прямыми A1B и AM равно длине перпендикуляра, опущенного из центра этого квадрата на прямую 
.
б) Найдите это расстояние.
а) Пусть данное сечение призмы — квадрат
Тогда диагонали перпендикулярны: 
а по теореме о трёх перпендикулярах 
Следовательно, 
Отсюда следует, что искомым расстоянием между прямыми и AM является длина перпендикуляра OP, опущенного из точки O пересечения диагоналей квадрата 
на прямую 
так как 
и 
б) Сторона квадрата равна высоте треугольника ABC, то есть 
а его диагональ 
В равнобедренном треугольнике 
основание 
боковая сторона 
Отсюда, используя подобие треугольников 
и 
найдём
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |