Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 503000
i

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1, все рёбра ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . Се­че­ние, про­хо­дя­щее через бо­ко­вое ребро AA1 и се­ре­ди­ну M ребра B1C1, яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A1B и AM равно длине пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из цен­тра этого квад­ра­та на пря­мую A_1B.

б)  Най­ди­те это рас­сто­я­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть дан­ное се­че­ние приз­мы  — квад­рат AA_1ML. Тогда диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны: AM\perp A_1L, а по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах AM\perp BC. Сле­до­ва­тель­но, AM\perp A_1BC. От­сю­да сле­ду­ет, что ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем между пря­мы­ми A_1B и AM яв­ля­ет­ся длина пер­пен­ди­ку­ля­ра OP, опу­щен­но­го из точки O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей квад­ра­та AA_1ML на пря­мую A_1B, так как OP\perp A_1B и OP\perp AM.

Рис. 1

Рис. 2

б)  Сто­ро­на квад­ра­та AA_1ML равна вы­со­те тре­уголь­ни­ка ABC, то есть AL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , а его диа­го­наль A_1L= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 42 конец ар­гу­мен­та . В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке A_1BC ос­но­ва­ние BC=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , бо­ко­вая сто­ро­на A_1B=7. От­сю­да, ис­поль­зуя по­до­бие тре­уголь­ни­ков A_1OP и A_1BL, найдём

OP= дробь: чис­ли­тель: A_1O умно­жить на LB, зна­ме­на­тель: A_1B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: A_1L умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: 4A_1B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 42 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 503000: 503128 511380 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми, Се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026