
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра основания которой равны Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра B1C1, является квадратом.
а) Докажите, что расстояние между прямыми A1B и AM равно длине перпендикуляра, опущенного из центра этого квадрата на прямую .
б) Найдите это расстояние.
а) Пусть данное сечение призмы — квадрат
Тогда диагонали перпендикулярны:
а по теореме о трёх перпендикулярах
Следовательно,
Отсюда следует, что искомым расстоянием между прямыми
и AM является длина перпендикуляра OP, опущенного из точки O пересечения диагоналей квадрата
на прямую
так как
и
б) Сторона квадрата равна высоте треугольника ABC, то есть
а его диагональ
В равнобедренном треугольнике
основание
боковая сторона
Отсюда, используя подобие треугольников
и
найдём
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
---|---|
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |