Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 503128

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра B1C1, является квадратом.

а) Докажите, что расстояние между прямыми A1B и AM равно длине перпендикуляра, опущенного из центра этого квадрата на прямую A_1B.

б) Найдите это расстояние.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть данное сечение призмы — квадрат AA_1ML. Тогда диагонали перпендикулярны: AM\perp A_1L, а по теореме о трёх перпендикулярах AM\perp BC. Следовательно, AM\perp A_1BC. Отсюда следует, что искомым расстоянием между прямыми A_1B и AM является длина перпендикуляра OP, опущенного из точки O пересечения диагоналей квадрата AA_1ML на прямую A_1B, так как OP\perp A_1B и OP \perp AM.

 

б) Сторона квадрата AA_1ML равна высоте треугольника ABC, то есть AL= корень из (3) , а его диагональ A_1L= корень из (6) . В равнобедренном треугольнике A_1BC основание BC=2, боковая сторона A_1B= корень из (7) . Отсюда, используя подобие треугольников A_1OP и A_1BL, найдём

OP= дробь: числитель: A_1O умножить на LB, знаменатель: A_1B конец дроби = дробь: числитель: A_1L умножить на BC, знаменатель: 4A_1B конец дроби = дробь: числитель: корень из (6) , знаменатель: 2 корень из (7) конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: корень из (6) , знаменатель: 2 корень из (7) конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 503000: 503128 511380 Все